I. Ví dụ và hướng dẫn giải chi tiết

Ví dụ 1. Cho bốn chữ số 3; 4; 5; 6.

a. Viết được tất cả bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho ?

b. Tìm số lớn nhất, số bé nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã cho.

c. Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn lớn nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã cho.

Hướng dẫn giải:

a. Cách 1 (Sơ đồ hình cây).

Chọn chữ số hàng nghìn là 3 ta được:

Nhìn sơ đồ trên ta thấy: từ bốn số đã cho, ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là 3 thoả mãn điều kiện đề bài.

Tương tự ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là 4; 6 số có chữ số hàng nghìn là 5 và 6 số có chữ số hàng nghìn là 6.

Vậy số các số thoả mãn điều kiện của đề là:

                  6 x 4 = 24 (số)

Cách 2

Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau:

• Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn thoả mãn điều kiện bài toán.
• Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là ba chữ số còn lại, khác chữ số hàng nghìn đã chọn).
• Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là hai chữ số còn lại, khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm).
• Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó la chữ số còn lại, khác chữ số hàng nghìn, hàng trăm và hàng đơn vị).

=> Vậy số các số viết được thoả mãn điều kiện của đề bài là:

                            4 x 3 x 2 x 1 = 24 (số)

b. Số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong các số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số cần tìm là 6.

Chữ số hàng trăm phải là số lớn nhất trong ba chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm là 5.

Chữ số hàng chục phải là số lớn nhất trong hai số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 4.

Chữ số hàng đơn vị là chữ số còn lại.

Vậy số lớn nhất cần tìm là 6543.

Tương tự như trên, ta tìm được số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là 3456.

c. Số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đề bài phải có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong bốn chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số cần tìm là 6.

Chữ số hàng trăm phải là số lớn nhất trong ba số còn lại nên chữ số hàng chục là 5. Vì là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị là 3.

Chữ số hàng chục là số còn lại.

Vậy số lẻ lớn nhất cần tìm là 6543.

Tương tự, số chẵn lớn nhất cần tìm là 6534.

Ví dụ 2. Cho năm chữ số 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. Hỏi từ năm số đã cho :

a. Có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số?

b. Có thể viết được bào nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà hàng trăm là 5?

Hướng dẫn giải:

a. Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn đề bài.

• Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm.
• Có 5 cách chọn chữ số hàng chục.
• Có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

=> Vậy số các số có bốn chữ số được viết từ năm số đã cho là:

                               5 x 5 x 5 x 5 = 625 (số)

b. Số cần tìm có chữ  số hàng trăm là 5. Vậy ta cần xác định các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng đơn vị nữa.

• Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn, 5 cách chọn chữ số hàng trăm.
• Có 1 cách chọn chữ số hàng chục.
• Số cần tìm là số chẵn lên có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

=> Vậy số các số cần tìm là:

    5 x 5 x1 x 3 =75 (số)

Ví dụ 3. Viết liên tiếp 8 số lẻ đầu tiên để được 1 sô tự nhiên. Hãy xoá đi 8 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được:

a. Số lớn nhất;

b. Số bé nhất.

Viết các số đó.

Hướng dẫn giải.

a. Viết 8 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên:

             13579111315

Sau khi xoá 8 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên trái là chữ số 9. Do đó trước hết ta phải xoá 4 chữ số đầu tiên của số trên là 1; 3; 5; 7. Ta xoá như sau: 13579111315

 Số còn lại là 9111315

Ta phải xoá tiếp 8 – 4 = 4 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá ta nhận được só lớn nhất thì chữ số thứ hai được giữ lại là chữ số 3. Vậy ta xoá như sau : 9111315

Số còn lại lả 9315.

Ta phải xoá tiếp 4 – 3 = 1 chữ số của số còn lại để được số lớn nhất. Ta xoá chữ số bé nhất trong số còn lại, ta xoá như sau 9315.

Vậy số lớn nhất cần tìm là 935.

b. Lập luận tương tự như câu a ta được số cần tìm là 1111.