CHƯƠNG V - ĐƯỜNG TRÒN

ÔN TẬP CHƯƠNG 5

47. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 1). Khi đó, đường tròn (4; 1)

A. Tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy tại 2 điểm phân biệt.

B. Tiếp xúc với trục Oy và cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt.

C. Tiếp xúc với cả hai trục Ox và trục Oy.

D. Đi qua gốc toạ độ O.

Bài giải chi tiết: C

48. Cho các điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tâm O đường kính AC = 2cm với sCBD = 55^o (Hình 51).

a) Số đo góc CAD là

A. 35 ^o

B. 145 ^o

C. 55 ^o

D. 125 ^o

Bài giải chi tiết: 

a) C.

b) B.

b) Độ dài đoạn thăng CD là

A. 2cos 55 ^o cm

B. 2sin 55 ^o cm

C. 2tan 55 ^o cm

D. 2cot 55 ^o cm

Bài giải chi tiết: 

a) C.

b) B.

49. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R) cắt nhau tại hai điểm M, N với O * O' = 24cm và MN = 10cm (Hình 52). Khi đó, R bằng

A. 26 cm.

B. 13 cm.

C. 14 cm.

D. 34 cm.

Bài giải chi tiết: B

50. Trong 20 giây, bánh xe của một chiếc xe máy quay được 80 vòng. Độ dài bán kính của bánh xe đó là 25 cm. Khi đó, quãng đường xe máy đi được trong 3 phút là:

Α. 36000m .

Β. 360πm.

C. 18000m .

D. 180m.

Bài giải chi tiết: B

51. Diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (0; 12 cm) và (0; 7 cm) là:

Α. 95 m²

Β. 193 m²

С. 5 m²

D. 19 m²

Bài giải chi tiết: A

52. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O).

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài giải chi tiết:

a) Do  là hai tiếp tuyến của đường tròn  nên . Tương tự, ta chứng minh được

Do đó  (không đổi).

b) Ta có:

và

nên

hay ba điểm  thẳng hàng.

Do tam giác  cân tại  nên .

Ta lại có:  nên .

Do đó  (hai góc đồng vị bằng nhau). Suy ra  hay  vuông góc với  tại . Vậy  là tiếp tuyến của đường tròn .

53. Cho ba đường tròn (4; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (4) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C' và B. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A (Hình 53).

a) Chứng minh AA' là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C).

b) Tính độ dài đoạn thẳng AA' và diện tích tam giác AB'C'

Bài giải chi tiết: 

 Ta có  và  nên .

Mặt khác,  nên  là đường trung trực của đoạn thẳng .

Suy ra  ' vuông góc với  tại  '.

Vậy là tiếp tuyến chung của đường tròn  và .
b) Gọi  là giao điểm của  và .

Do tam giác  ' vuông tại  ' nên

Ta có: .

Tam giác  có  nên .

Suy ra

hay . 

Tam giác  có  nên  hay .

Ta chứng minh được  nên diện tích tam giác  là:

54. Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho  = .

a) Chứng minh  =  

b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bản kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết BC = R

Bài giải chi tiết:

a) Do  nên .

Ta lại có:  nên .

Suy ra .

Mà , suy ra .

Do đó .

b) Do  (c.c.c) nên ta tính được

Vì tam giác  vuông tại  nên

Do đó .

Vì vậy, tam giác  vuông cân tại . Suy ra .

Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính  và cung nhỏ  là:

55. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC.

a) Chứng minh  = =  =

b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh AM > CM và COM = 2 CAM.

c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

Bài giải chi tiết: 

Gọi là giao điểm của  và , kẻ  vuông góc với  tại  (Hinh 81.

a) Do  lần lượt là điểm chính giữa của cung  nên

Từ đó, ta tính được

Vạyy . 

b) Do  thuộc cung nhỏ  nên sđ  và sđ . Suy ra

Tam giác  có  nên .

Xét đường tròn , ta có: (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ  ).

c) Diện tích của tam giác  là: .

Do đó  lớn nhất khi  lớn nhất.

Ta lại có:  và  nên .

Do  không đổi nên  lớn nhất khi  là điểm chính giữa của cung .

Vậy diện tích của tam giác  lớn nhất bằng  khi  là điểm chính giữa của cung nhỏ .

56. Thành phố Hồ Chí Minh có vĩ độ là 10^o10’  Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Xích Đạo (làm tròn kết quả đến hàng trăm của kilômét), biết mỗi kinh tuyến là một nửa vòng Trái Đất và có độ dài khoảng 20 000 km.

Bài giải chi tiết: 

Đổi .

Độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chi Minh đến Xich Đạo là:

57. Cho hình thang vuông ABCD (  =  = 90^o  ) với   = 30^o , BC = CD = a Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.

Bài giải chi tiết: 

Kẻ  vuông góc với  tại  (Hìh 82 ).

Do tam giác  vuông tại  nên  và .

Ta có: .

Ta chứng minh được tứ giác  là hình chữ nhật. Suy ra

Diện tích của hình thang  là: .

Diện tích hình quạt tròn  là: .

Diện tích của phần tô màu xám là: .

58. Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; R), (O; r) với R + r = 1,2 dm, R > r và diện tích hình vành khuyên đó là 1,5072 dm² (Hình 55). Tính R và r, lấy π≈ 3,14. 

Bài giải chi tiết: 

Do diện tích hình vành khuyên đó là  nên  hay . Mà  nên . Từ đó, ta tính được  và .

59. Tam giác Reuleaux là hình tạo nên từ phần giao nhau của ba đường tròn cùng bán kính, tâm của mỗi đường tròn chính là giao điểm của hai đường tròn còn lại. Tạo tam giác Reuleaux từ ba đường tròn (A), (B), (C) (Hình 56). Tính số đo các cung nhỏ BaC, CbA, AcB của tam giác Reuleaux. Nêu nhận xét về số đo của các cung tròn đó. 

Bài giải chi tiết: 

Do tam giác  đều nên . Do đó, số đo các cung nhỏ  của tam giác Reuleaux đều bằng .

60. Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn sao cho độ dài cung nhỏ AB bằng

a) Xác định điểm C trên cung lớn AB sao cho khi kẻ CH vuông góc với AB tại H thì AH = CH.

b) Tính độ dài các cung AC, BC theo R.

c) Kẻ OK vuông góc với AB tại K, tia OK cắt đường tròn (O) tại E. Tính diện tích hình quạt tròn EOB (giới hạn bởi cung nhỏ BE và hai bán kính OE, OB) theo R.

d) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích hình quạt tròn BOC (giới hạn bởi cung nhỏ BC và hai bán kính OB, OC) và diện tích hình quạt tròn AOC (giới hạn bởi cung nhỏ AC và hai bán kính OA, OC).

Đáp án chi tiết:

a) Đặt . Khi đó, ta có . Do đó . Suy ra  hay sd .

Tam giác  có  nên tam giác  vuông cân tại . Suy ra

b) Độ dài cung nhỏ  và cung nhỏ  lần lượt là  và .

c) Diện tích hình quạt tròn  là .

d) Diện tích các hình quạt tròn  và diện tích hinh quạt  lần lượt là  và . Vậy tỉ số phần trăm giữa diện tích hình quạt tròn  và diện tích hình quạt tròn  là .