BÀI 3: ĐỊNH LÝ VIÈTE

Bài 24 (trang 70): Không tính , giải các phương trình:
a) ;
b) .

Bài giải chi tiết:

a) :

Áp dụng định lý  Viète vào phương trình, ta có 2 nghiệm:

b) Giải phương trình :

Áp dụng định lý  Viète vào phương trình, ta có 2 nghiệm:

Bài 25 (trang 71):

Cho phương trình .
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Không giải phương trình, tính:

Bài giải chi tiết:

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu vì .
b) Theo định li Viète, ta có .

Tính :

Sử dụng công thức:

Thay giá trị và vào:

Vậy, .

Tính :

Sử dụng công thức:

Thay giá trị , và

Tính :

Sử dụng công thức:

Thay giá trị và :

Vậy, .

 Tính :

Sử dụng công thức:

Thay giá trị và :

Vậy:

Bài 26 (trang 71):

a) Cho phương trình . Tìm các giá trị để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện .
b) Cho phương trình . Tìm các giá trị để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện .

Bài giải chi tiết:

a) Đầu tiên, theo định lý Viète, ta có:

Để tìm giá trị thỏa mãn điều kiện , ta biến đổi biểu thức:

Thay giá trị từ Viète vào:

Vậy các giá trị của là hoặc .

b) Theo định lý Viète, ta có:

Thay các giá trị này vào điều kiện:

Vậy giá trị của là .

Bài 27 (trang 71):

Cho phương trình .
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của .
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của .

Bài giải chi tiết:

a)

Tính :

Ta thấy rằng là một biểu thức bậc hai theo và luôn dương với mọi giá trị của . Vì vậy, với mọi giá trị của , do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) 

Theo định lý Viète, ta có:

Chúng ta cần tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào giá trị của .

Xét biểu thức :

Đây chính là biểu thức đã tính ở phần a) và luôn dương với mọi giá trị của .

Bài 28 (trang 71)::

Cho phương trình .
a) Tìm các giá trị để phương trình luôn có hai nghiệm và .

Tìm các giá trị để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

Bài giải chi tiết:

a) Ta có nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của . Theo định lí Viète, ta có ;
Do nên . Suy ra: hoặc .
Nếu thì . Nếu thì hoặc .
Dễ thấy, nếu thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thoả mãn .
Vậy là các giá trị cần tìm.
) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm nếu và hay và . Từ đó, ta có . Dễ thấy với các giá trị sao cho thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm. Vậy các giá trị cần tìm là các giá trị sao cho .

Bài 29 (trang 71): Tìm các số với thoả mãn:
a) và ;
b) và .

Bài giải chi tiết:

a)

Phương trình bậc hai có tổng các nghiệm là  x + y = 16  và tích các nghiệm là  xy = 15 được viết dưới dạng:

Thay x + y = 16  và  xy = 15 vào:

t = 1 

t = 15 

Do đó, các số  x và  y  thỏa mãn là x = 1  và  y = 15 (vì  x < y ).

b)

Phương trình bậc hai có tổng các nghiệm là  x + y = 2  và tích các nghiệm là  xy = -2 được viết dưới dạng:

Thay x + y = 2  và  xy = -2 vào:

Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

Vậy hai nghiệm là:

Do đó, các số  x và  y  thỏa mãn là  và   (vì  x < y ).

Bài 30 (trang 71): Cho phương trình .
a) Tìm các giá trị để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài giải chi tiết:

a) Ta có với mọi giá trị của nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của .
b) Theo định lí Viète, ta có: .

Do đó .
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

Bài 31* (trang 71):

Cho các số khác 0 thỏa mãn và .
Chứng tỏ rằng: .

Bài giải chi tiết:

Đặt và .
Ta có: và .
Từ đó là nghiệm của phương trình với .
Suy ra hay .
Mặt khác: . Do và nên (*) suy ra: và hay .

Tương tự ta chứng minh được: .

Bài 32 (trang 72):

Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung của một hình lập phương có cạnh là và một hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng chiều cao là , chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tîm độ dài cây sắt, biết , và .

Bài giải chi tiết

Từ hệ phương trình đã cho:

 x + y = 0,5

 xy = 0,06

Ta xem  x và  y  là nghiệm của phương trình bậc hai:

   Vậy hai nghiệm là:

   Do đó,  x = 0,2  và  y = 0,3  (vì x < y ).

   Tổng chiều dài cây sắt là:

Độ dài cây sắt cần thiết là  10,8m.

Bài 33 (trang 72):

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng , chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Người ta đã làm một vườn hoa ở trung tâm mảnh đất với diện tích bằng và làm một con đường rộng xung quanh vườn hoa đó (Hình 10 ). Hỏi chu vi của mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét?

Bài giải chi tiết:

Gọi chiều rộng của vườn hoa là a và chiều dài của vườn hoa là b. Ta có:

  ab = 640

Chiều rộng của mảnh đất là x. Con đường rộng 2 m xung quanh vườn hoa sẽ làm tăng chiều rộng và chiều dài mỗi bên của vườn hoa thêm 4 m (2 m mỗi bên). Do đó, ta có:

   Do  ab = 640 , ta thay  a = x - 4 và  b = 1.5x - 4  vào:

   Chiều rộng của mảnh đất là  x = 24  m, chiều dài là  1.5x = 36 m. Chu vi của mảnh đất là:

Chu vi của mảnh đất là 120 mét.