CHƯƠNG V - ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 2 - VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

11. Cho đường thẳng a và điểm O với khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là 1 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 3 cm.

a) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O).

b) Gọi A và B là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Bài giải chi tiết:

a) Kẻ vuông góc với a tại (Hinh 62). Khi đó, ta có: . Suy ra . Vậy đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

b) Vi (cạnh huyền - cạnh góc vuông) nên .

Do tam giác vuông tại nên

Vậy .

12. Cho  = 30  và điểm Q' thuộc tia Ox sao cho OO' = 4cm

a) Tính khoảng cách từ điểm 0' đến tia Oy.

b) Xác định vị trí tương đối của tia Oy và đường tròn (O; R) tuỳ theo độ dài R với R <= 4 cm.

Bài giải chi tiết:

Kẻ ' vuông góc với tại (Hinh 63). Khi đó, ta có: ' là khoảng cách từ điểm đến tia .

a) Do tam giác vuông tại nên

b) Nếu thì đường tròn và tia không giao nhau.

Nếu thì đường tròn và tia tiếp xúc nhau.

Nếu thi đường tròn và tia cắt nhau. 

13. Cho hình thang vuông ABCD ( hat A = hat D = 90  ) có AB = 4cm BC = 13cm CD = 9cm

a) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

b) Đường thẳng AD có tiếp xúc với đường tròn đường kính BC hay không? Vi sao?

Bài giải chi tiết:

Kẻ vuông góc với tại , gọi là trung điểm của đoạn thẳng , kẻ vuông góc với tại , gọi là giao điểm của và (Hình 64). Khi đó, ta chứng minh được: ; các tứ giác , là hình chữ nhật.

a) Do tứ giác là hình chữ nhật nên

Ta có: .

Do tam giác vuông tại nên .

Vậy .

b) Ta có đường tròn đường kính có tâm và bán kính và khoảng cách từ tâm đến là .

Do tứ giác là hình chữ nhật nên .

Xét tam giác có nên . Suy ra .

Ta có: .

Do đó . Vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đường kính .

14. Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O; R) với B là tiếp điểm (Hình 14). Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R. 

Bài giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác OAB ta có:

.

15. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm F thuộc đoạn thẳng OB, tia CF cắt đường tròn (O) tại D. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB tại E (Hình 15). Chứng minh EF = ED

Bài giải chi tiết:

Do tam giác cân tại nên hay .

Mà và , suy ra .

Ta lại có nên .

Do đó cân tại . Suy ra .

16. Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD, lấy điểm H sao cho BH = AB Qua điểm H kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O.

a) So sánh OA, OH, HD,

b) Xác định vị trí tương đối của BD và đường tròn (Ο; ΟΑ). 

Bài giải chi tiết:

a) Vi (cạnh huyền - cạnh góc vuông) nên .

Tam giác vuông tại có nên tam giác vuông cân tại . Suy ra .

Vậy .

b) Vì    và vuông góc với tại nên là tiếp tuyến đường tròn . Vậy tiếp xúc với đường tròn .

17. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (0) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, tia OI cắt AB tại E (Hình 16). Chứng minh:

a) EB. EA =EI.EO;

b) AB² =AC.AD.

Bài giải chi tiết:

a) Do (c.c.c) nên .

Vi « nên .

Do đó .

b) Do vuông tại nên .

Mặt khác, ta có: . Mà , suy ra

Do đó . (vì cùng bằng ).

18. Cho đường tròn (0; 4 cm) và đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là OH = 5 cm. Đường thẳng OH cắt đường tròn (0) tại A. Gọi B là trung điểm của đoạn thẳng OA. Trên đường thẳng d, lấy một điểm 1 (khác H), kẻ tiếp tuyển IC của đường tròn (O) với C là tiếp điểm (Hình 17). Chúng mình tam giác IBC cân tại I.

Bài giải chi tiết:

Ta có: .

Do vuông tại nên .

Do vuông tại nên

Do đó (vì cùng bằng ).

Vậy hay tam giác cân tại .