CHƯƠNG V - ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 1 - VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 2 ĐƯỜNG TRÒN

1. Cho đường tròn (O; 25 cm). Tính độ dài dây lớn nhất của đường tròn đó.

Bài giải chi tiết:

Đường kính của đường tròn là 50 cm . Vi độ dài dây nhỏ hơn hoặc bằng độ dài đường kính của đường tròn nên độ dài dây lớn nhất của đường tròn là 50 cm .

2. Cho hai đường tròn (0; 4 cm), (0'; 1 cm). Xét vị trí tương đối của hai đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) OO' = 4, 5cm

b) OO' = 6cm

c) OO' = 2cm

Bài giải chi tiết:

Gọi và , ta có:
a) và cắt nhau;
b) và ở ngoài nhau;
c) : đựng .

3. Cho hai đường tròn (0; 3,5 cm) và (0'; 4,5 cm). Tìm độ dài OO' sao cho hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài.

Bài giải chi tiết:

Hai đường tròn và tiếp xúc ngoài khi

4. Cho hai đường tròn (0; 17 cm) và (0'; 10 cm) cắt nhau tại A và B. Biết rằng OO' = 21 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Bài giải chi tiết:

Gọi là giao điểm của với (Hinh 57 ). Khi đó, ta chứng minh được là đường trung trực của đoạn thẳng hay và vuông góc với tại .

Đặt thi .

Ta có:

Suy ra

Do tam giác vuông tại nên

Vậy .

5. Cho hai đường tròn (0) và (0) có bán kính bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Chứng minh tứ giác OAO 'B là hình thoi; từ đó, suy ra AB cắt OO' tại trung điểm của mỗi đường.

Bài giải chi tiết:

Tứ giác có (cùng bằng bán kính của và ) nên là hình thoi. Suy ra cắt 'tại trung điểm của mỗi đường.

6. Hình 7 mô tả công trình xây dựng cây cầu bắc qua một hồ nước với mặt hồ có dạng hình tròn tâm O bán kính 2 km. Cây cầu có hai đầu cầu là hai điểm A, B nằm trên đường tròn tâm O. Tính chiều dài của cây cầu để khoảng cách từ tâm O của hồ nước đến cây cầu là OH = 1 732 m (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét). 

Bài giải chi tiết:

Ta có: và .

Ta chứng minh được .

Do tam giác vuông tại nên .

Vâyy .

7. Hai hòn đảo được xem như hai hình tròn có khoảng cách từ tâm hòn đảo này đến tâm hòn đảo kia là khoảng 950 m. Biết rằng hòn đảo lớn có bán kính khoảng 500 m, còn đảo nhỏ có bán kính khoảng 300 m. Người ta cần xây dựng một cây cầu bắc từ đào này sang đảo kia. Hãy chọn vị trí để xây cầu sao cho chiều dài cây cầu là ngắn nhất, khi đó tính chiều dài cây cầu.

Bài giải chi tiết:

Gọi hòn đảo lớn là đường tròn và hòn đảo nhỏ là đường tròn . Lấy thuộc đường tròn và thuộc đường tròn tâm là hai vị trí đầu cầu (Hình 59). Khi đó, là chiều dài cây cầu và , .

Xét ba điểm , ta có: .

Xét ba điểm , ta có: .

Do đó hay .

Dấu " " xảy ra khi bốn điểm ' thẳng hàng theo thứ tự đó.

Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu có chiều dài ngắn nhất là 150 m .

8. Cho đường tròn tâm O bán kính 04 và đường tròn tâm O đường kính OA.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').

b) Dây AD của đường tròn (0) cắt đường tròn (O) tại C. Chứng minh AC = CD.

Bài giải chi tiết:

a) Do nên hai đường tròn và tiếp xúc trong tại .

b) Xét tam giác , ta có

Suy ra tam giác vuông tại hay .

Vi (cạnh huyền - cạnh góc vuông) nên .

9. Cho đường tròn (0; 3 cm) và (0'; 2 cm) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng đi qua A cắt (0) và (0) lần lượt tại B và C (B và C khác A).

a) Chứng minh OB // O'C.

b) Cho AB = 5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC.

Bài giải chi tiết:

a) Do hai tam giác và là tam giác cân nên ta chứng minh được .

Do đó .

b) Vi nên hay .

Do đó .

10. Trong mỗi hình 8a, 86, 8c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Hình nào có hệ thống bánh răng chuyển động được? Hình nào có hệ thống bánh răng không chuyển động được?

Bài giải chi tiết:

Hệ thống bánh răng ở các hình chuyển động được. 

Hệ thống bánh răng ở Hình 8c không chuyển động được.