BÀI 2: TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN

Bài 12 (trang 90): Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau:
a) Tứ giác có bốn đỉnh thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc bất kì bằng .
c) Hình chữ nhật luôn nội tiếp đường tròn.
d) Mỗi hình vuông là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

Bài giải chi tiết:

Phát biểu b) sai.

Bài 13 (trang 90): Cho tứ giác nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:
a) và ;
b) và ;
c) và ;
d) và .

Bài giải chi tiết:

a) Ta có:

và

b)

Ta có:

Số đo các góc còn lại:

c)

Ta có:

Số đo các góc còn lại:

d)

Tương tự như trường hợp b, ta có:

Số đo các góc còn lại:

Bài 14 (trang 90):

Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Bài giải chi tiết:

Giả sử trái lại có hai dây cung và (không đi qua tâm ) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra tứ giác là hình bình hành. Do đó . Mặt khác, tứ giác nội tiếp nên . Suy ra . Từ đó suy ra là đường kính của đường tròn hay đi qua tâm , mâu thuẫn với điều đã giả sử. Vậy trong một đường tròn, hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Bài 15 (trang 90):

Ở Hình 13 , hai đường tròn giao nhau tại và là một dây cung của . Tia cắt tại và tia cắt tại . Chứng minh song song với .

Bài giải chi tiết:

Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn nên (1). Mặt khác, tứ giác nội tiếp đường tròn suy ra (2). Từ (1) và (2) ta có hay . Suy ra .

Bài 16 (trang 90):

Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác đều . Điểm nằm trên cung nhỏ khác
Hinh 13 và ). là tia đối của tia . Chứng minh là phân giác của góc và là phân giác của góc .

Bài giải chi tiết:

Do tứ giác nội tiếp đường tròn nên . Mặt khác nên ta có . Do đó, là phân giác của góc .
Tương tự ta có và .
Do đó hay là phân giác của góc .

Bài 17 (trang 90):

Cho tam giác cân ở là trung điểm của và . Đường vuông góc với tại cắt đường thẳng ở . Kẻ vuông góc với . Chứng minh:
a) ;
b) .

Bài giải chi tiết:

a) Do tam giác cân tại và là trung điểm của nên (1). Vì các tam giác và lần lượt vuông tại và nên tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính suy ra (2). Mặt khác (3) (vì cùng cộng với bằng ). Từ (1), (2), (3) suy ra . Do đó, tam giác HAE cân tại . Vì vậy .

b) Chứng minh :

Trong tam giác vuông và : là đoạn chéo của tứ giác , tứ giác nội tiếp. HK là đoạn chéo của tứ giác , tứ giác nội tiếp.

Do và là đoạn chéo của hai tứ giác nội tiếp, và theo tính chất của các đoạn chéo trong tứ giác nội tiếp:

Bài 18 (trang 91):

Cho và điểm nằm trong góc . Kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại ; kẻ đường thẳng vuông góc vơi cắt Ay tại (Hình 14). Chứng minh:
a) Các tứ giác là các tứ giác nội tiếp đường tròn;
b) .
Hinh 14

Bài giải chi tiết:

a) Gọi lần lượt là trung điểm của . Khi đó lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của các tam giác vuông nên . Suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn tâm đường kính . Tương tự tứ giác nội tiếp đường tròn tâm đường kính .
b) Do tứ giác nội tiếp đường tròn nên hay . Mà suy ra . Do đó (3). Lại có tam giác vuông tại nên hay , tức là . Do đó (4). Từ (3) và (4) suy ra .

Bài 19 (trang 91):

Cho hình vuông . Trên cạnh lấy điểm . Đường thẳng qua vuông góc vối cắt các tia lần lượt tại và . Tia cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng:
a) và ;
b) .

Bài giải chi tiết:

a) Ta có các điểm cách đều điểm (trung điểm của ) suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn. Do tứ giác nội tiếp đường tròn nên hay . Tương tự tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên .

b) Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn nên . Mà . Suy ra tam giác cân tại . Vì thế (1). Tương tự tam giác cân tại suy ra (2). Từ (1) và (2) suy ra .

Bài 20 (trang 91): Chứng minh rằng mỗi hình thang cân là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

Bài giải chi tiết:

Gọi là trục đối xứng của hình thang cân . Dựng đường trung trực của . Gọi là giao điểm của và . Dễ thấy suy ra các đều thuộc đường tròn tâm , bán kính hay hình thang cân nội tiếp đường tròn.
Bài 21 (trang 91):

Hình vuông có cạnh bằng 1 , người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp của nó để tạo thành tứ giác , tiếp tục như vậy được tứ giác mới (Hình 15). Chứng minh:
a) Tứ giác và tứ giác là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác bằng tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác .

Bài giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác EFGH và tứ giác IKPQ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

  - Do  E, F, G, H  là trung điểm của các cạnh  AB, BC, CD, DA  của hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, ta suy ra độ dài các đoạn thẳng nối  E, F, G, H  với nhau bằng nhau.

  - Ta có các cạnh của tứ giác EFGH lần lượt là  EF, FG, GH, HE  đều bằng .

  - Xét đường tròn đi qua  E, F, G, H . Vì tất cả các điểm này cách đều tâm O (tâm hình vuông ABCD) một khoảng bằng  , nên chúng nằm trên cùng một đường tròn.

  - Do đó, tứ giác EFGH là tứ giác nội tiếp đường tròn.

  - Tương tự như trên, tứ giác IKPQ được tạo thành bằng cách nối trung điểm các cạnh liên tiếp của tứ giác EFGH.

  - Các điểm  I, K, P, Q  là trung điểm các cạnh của tứ giác EFGH.

  - Bởi vì tứ giác EFGH là tứ giác nội tiếp đường tròn và các điểm  I, K, P, Q cách đều tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH một khoảng không đổi (bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH chia đôi), nên tứ giác IKPQ cũng là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh tỉ số bán kính của các đường tròn ngoại tiếp

  - Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có bán kính là 

  - Đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH có bán kính là

  - Đường tròn ngoại tiếp tứ giác IKPQ có bán kính là 

  - Tỉ số bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và tứ giác EFGH là:

  - Tỉ số bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH và tứ giác IKPQ là:

Do đó, tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH bằng tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác IKPQ.

Bài 22* (trang 91):

Cho tam giác vuông cân tại và nội tiếp đường tròn . là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ . Gọi là giao điểm của và . Kẻ vuông góc với . Chứng minh rằng khi di chuyển trên cung nhỏ thì luôn đi qua một điểm cố định.

Bài giải chi tiết:

Kẻ đường kính suy ra cố định. Ta có nên tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Từ đó suy ra . Lại có (do tam giác vuông cân tại ) do đó hay (1). Mặt khác, (do là điểm chính giữa của cung ) (2). Từ (1) và (2) suy ra thẳng hàng. Vậy khi di chuyển trên cung nhỏ thì luôn đi qua điểm cố định.