Chương VII: HÀM SỐ . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI 1: HÀM SỐ .

Bài 1 (trang 57):

Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh được cho bởi công thức .
a) Tính các giá trị của rồi hoàn thiện bảng sau:

b) Tính cạnh của hình lập phương (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm), biết diện tích toàn phần của hình lập phương đó bằng .

Bài giải chi tiết:

a)

b) Công thức diện tích toàn phần của hình lập phương:

Bài 2 (trang 57): 

Cho hàm số . Tìm , biết khi thì .

Bài giải chi tiết:
Ta  có và

Bài 3 (trang 57):

Galileo Galilei là người phát hiện ra quãng đường chuyển động của vật rơi tự do tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian. Liên hệ giữa quãng đường chuyển động (mét) và thời gian chuyến động (giây) được cho bởi hàm số . Người ta thả một vật nặng từ độ cao trên tháp nghiêng Pi-sa xuống đất (sức cản của không khí không đáng kể).
a) Hỏi sau thời gian 2,5 giây vật nặng còn cách mặt đất bao nhiêu mét?
b) Khi vật nặng còn cách mặt đất thì nó đã rơi thời gian bao nhiêu giây?

Bài giải chi tiết:
a) Sau thời gian 2,5 giây vật nặng còn cách mặt đất:

b) Quãng đường vật nặng đi được khi vật nặng còn cách mặt đất là 

Thời gian vật nặng đi được quãng đường là 

Bài 4 (trang 57):

Một viên bi lăn trên mặt phẳng nghiêng. Đoạn đường đi được liên hệ với thời gian bởi hàm số ( tính bằng giây, tính bằng mét). Người ta đo được quãng đường viên bi lăn được ở thời điểm 3 giây là . Hỏi khi viên bi lăn được quãng đường thì nó đã lăn trong bao lâu?

Bài giải chi tiết:

Với ta có 

Với ta có 

Thay vào (1) ta được 

Từ (2) và , ta có . Vậy khi viên bi lăn được thì nó đã lăn trong 5 giây.
Bài 5 (trang 57):

a) Điểm thuộc đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau: ;

b) Trong các điểm , điểm nào thuộc đồ thị hàm số ?

Bài giải chi tiết:

a) thuộc đồ thị hàm số .
b) thuộc đồ thị hàm số .
Bài 6 (trang 58):

Cho là giao điểm của hai đường thẳng và . Chứng minh rằng điểm thuộc đồ thị hàm số .

Bài giải chi tiết:

Do là giao điểm của hai đường thẳng và  

Suy ra . Mặt khác nên thuộc đồ thị hàm số .
Bài 7 (trang 58):

Cho hàm số có đồ thị là một parabol với đỉnh như Hình 3.
a) Tìm giá trị của .
b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ bằng 2 .
c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ bằng 2 .
) Tìm các điểm (không phải điểm ) thuộc parabol sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp ba lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.

Bài giải chi tiết:

a) Do đồ thị hàm số đi qua nên . Vậy .
b) Tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ bằng 2 là: .
c) Ta có nên hoặc . Vậy các điểm thuộc parabol có tung độ bằng 2 là .

Gọi là điểm thuộc parabol thỏa mãn khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp ba lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.

Từ đó, ta có và . Do nên hoặc .

• Nếu , kết hợp với (*) ta có: hay . Suy ra . Tức là hoặc . Với thì , khi đó (loại). Với thì , khi đó .

• Nếu kết hợp với (*) ta có: hay . Suy ra . Tức là hoặc . Với thì , khi đó (loại). Với thì , khi đó  .

Vậy các điểm phải tìm là và .
Bài 8 (trang 58):

Nước từ một vòi nước (đặt trên mặt nước) được phun lên cao sẽ đạt đến một độ cao nào đó rồi rơi xuống (Hình 4). Giả sử nước được phun ra bắt đầu từ vị trí trên mặt nước và rơi trở lại mặt nước ở vị trí , đường đi của nước có dạng một phần của parabol trong hệ trục toạ độ , với gốc tọa độ là vị trí cao nhất mà nước được phun ra đạt được so với mặt nước, trục song song với và được tính theo đơn vị mét. Tính chiều cao từ điểm đến mặt nước, biết khoảng cách giữa điểm và điểm là .

Bài giải chi tiết:

Gọi là trung điểm của đoạn . Khi đó và . 

Từ đó, trong hệ trục , hoành độ của bằng 3 , tung độ của bằng . 

Do đó: , suy ra .

Bài 9 (trang 59):

Một chiếc cổng hình parabol khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy có dạng một phần của parabol  với gốc tọa độ O là vị trí cao nhất của cổng so với mặt đất, x và y được tính theo đơn vị mét, chiều cao OK của cổng là 4,5 m như mô tả ở Hình 5 (K là trung điểm của đoạn AB). Tìm khoảng cách giữa hai chân cổng A và B ở trên mặt đất.

Bài giải chi tiết:

Từ Hình 5, ta có K(0;–4,5).

Gọi hoành độ của điểm B là b (b > 0).

Do tung độ của điểm B bằng tung độ của K nên B(b;–4,5).

Mặt khác, B thuộc parabol nên ta có:

 hay = 36, nên b = 6 (do b > 0).

Từ đó KB = 6 m và AB=2.KB = 2.6 = 12 m.

Vậy khoảng cách giữa hai chân cổng A và B ở trên mặt đất bằng 12 mét.

Bài 10 (trang 10):

a) Vẽ đồ thị các hàm số và trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Qua đồ thị của các hàm số đó, hãy cho biết khi x tăng từ 0,5 đến 2 thì giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất của hàm số là bao nhiêu?

Bài giải chi tiết:

a) – Vẽ đồ thị hàm số:

Ta có bảng giá trị của y tương ứng với giá trị của t như sau:

- Vẽ các điểm A(‒2; ‒6); B (‒1; ‒1,5); O(0; 0); C(1; ‒1,5); D(2; ‒6) thuộc đồ thị hàm số trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

- Vẽ đường parabol đi qua 5 điểm A, B, O, C, D, ta nhận được đồ thị của hàm số (hình vẽ).

– Vẽ đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị của y tương ứng với giá trị của t như sau:

- Vẽ các điểm M(‒2; 6); N(‒1; 1,5); O(0; 0); P(1; 1,5); Q(2; 6) thuộc đồ thị hàm số trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

- Vẽ đường parabol đi qua 5 điểm M, N, O, P, Q, ta nhận được đồ thị của hàm số (hình vẽ).

b) Từ đồ thị hàm số ở câu a, ta thấy khi x tăng từ 0,5 đến 2 thì hàm số có giá trị lớn nhất bằng tại x = 0,5 và hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = 0,5.

Thay x = 0,5 vào hàm số ta được:

Thay x = 0,5 vào hàm số ta được:

Vậy khi x tăng từ 0,5 đến 2 thì hàm số có giá trị lớn nhất bằng ‒0,375 tại x = 0,5 và hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0,375 tại x = 0,5.