BÀI 1: ĐA GIÁC ĐỀU. HÌNH ĐA GIÁC ĐỀU TRONG THỰC TIỄN 

Bài 1 (trang 106):

Quan sát Hình 6 và kể tên các đa giác có trong hình đó.

Hình 6

Bài giải chi tiết:

Các đa giác có trong Hình 6 là: tam giác , tam giác , tam giác , tam giác ; tứ giác , tứ giác , tứ giác ; ngũ giác , ngũ giác ; lục giác .

Bài 2 (trang 106):

Cho tam giác ABC và D là một điểm nằm trong tam giác. Kẻ DE song song với AB (E thuộc cạnh AC ). Kẻ DF song song với BC ( F thuộc cạnh AC ).

a) Trong nhóm các điểm B, D, F, C và nhóm các điểm A, B, C, D, nhóm các điểm nào là 4 đỉnh của một tứ giác lồi? Vì sao?

b) Các điểm A, B, C, D, E có phải là các đỉnh của một ngũ giác lồi không? Vì sao?

Bài giải chi tiết:

a)

Xét nhóm điểm B, D, F, C:

  - Điểm D nằm trong tam giác ABC.

  - DF song song với BC (F thuộc AC).

  - B, D, F, C nằm trong tứ giác có các cạnh không cắt nhau trong và ngoài tứ giác

  Từ đó, B, D, F, C tạo thành một tứ giác lồi vì tất cả các góc của nó đều nhỏ hơn 180 độ và không có điểm nào nằm bên trong của các cạnh nối hai điểm khác.

Xét nhóm điểm A, B, C, D:

  - Điểm D nằm trong tam giác ABC.

  - A, B, C là ba điểm nằm trên các đỉnh của tam giác ban đầu.

  Nhóm các điểm A, B, C, D cũng tạo thành một tứ giác lồi vì tương tự như trên, tất cả các góc của tứ giác này đều nhỏ hơn 180 độ.

b) Ta có:

  - DE song song với AB (E thuộc cạnh AC).

  - Do DE song song với AB và D nằm trong tam giác ABC, nên E phải nằm trên đoạn AC giữa A và C.

  Vì vậy, các điểm A, B, C, D, E tạo thành một ngũ giác lồi. 

Bài 3 (trang 106):

Hãy vẽ một số đa giác (lồi) mà các đỉnh là một số điểm trong các điểm đã cho ở Hình 7 

Bài giải chi tiết:

Bài 4 (trang 107):

Cho hình chữ nhật và ngũ giác trên lưới ô vuông như Hình 8 , với cạnh của mỗi ô vuông nhỏ là . Tính tỉ số diện tích ngũ giác và diện tích hình chữ nhật (làm tròn đến hàng phần mười).

Bài giải chi tiết:

Tổng diện tích các tam giác là:

Diện tích hình chữ nhật là: (đơn vị diện tích).
Diện tích ngũ giác là: (đơn vị diện tích).
Tỉ số diện tích ngũ giác và diện tích hình chữ nhật là: .

Bài 5 (trang 107):

Cho ngũ giác . Chứng minh:

Bài giải chi tiết:

Áp dụng các bất đẳng thức tam giác ta có:
; . 

Do đó, ta có:

Mặt khác:

Từ (1) và (2) suy ra: .

Bài 6 (trang 107):

Cho ngũ giác đều và một điểm nằm trong ngũ giác. Gọi , lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn thẳng sao cho . Chứng minh ngũ giác là ngũ giác đều.

Bài giải chi tiết:

Từ giả thiết suy ra:

Do đó . Kẻ vuông góc với ( thuộc . Tam giác vuông có và nên do đó .
Nếu là lục giác đều thì , do đó hay . Ngược lại, nếu thì và các cạnh của lục giác bằng nhau (1). 

Mặt khác, các góc của lục giác đều bằng nên lục giác là lục giác đều. Vậy hệ thức liên hệ giữa và để lục giác là lục giác đều là .

Bài 7 (trang 107):

Cho ngũ giác đều , đoạn cắt các đoạn và lần lượt tại và . Chứng minh rằng:
a) Các tam giác và là các tam giác cân;
b) là phân giác của góc ;
c) .

Bài giải chi tiết:

a) Ngũ giác là ngũ giác đều nên tam giác cân tại và , tam giác cân tại và . Suy ra nên tam giác cân tại . Tương tự tam giác cân tại và . Mặt khác:

 ; .

Suy ra tam giác cân tại .
b) Do và nên . Từ đó suy ra . Vì vậy là phân giác của góc .
c) Dễ thấy do có chung cạnh AB và điểm M thuộc AC suy ra hay .

Bài 8 (trang 107):

Ở Hình 9 biết là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác cũng là lục giác đều.

Bài giải chi tiết:

Lục giác ABCDEF là lục giác đều nên AB = BC = CD = DE = EF = FA và

Ta cũng có tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng tổng các góc của hai tứ giác ABCD và AFED, tức là bằng 2.360° = 720°.

Do đó:

Xét ∆AFB cân tại A (do AB = AF) ta có:

Hay:

Tương tự, đối với ∆ABC cân tại B ta có: hay

Do đó ta có: Nên ∆ABS cân tại S.

Suy ra

Bài 9 (trang 107):

Người ta chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau như sau:

• Trên đường tròn , lấy điểm tuỳ ý;
• Vẽ một phần đường tròn cắt tại và ;
• Vẽ một phần đường tròn cắt tại (khác ;
• Vẽ một phần đường tròn cắt tại (khác );
• Vẽ một phần đường tròn cắt tại (khác .

Nối với với với với với với , ta được lục giác . Chứng minh:
a) Lục giác là lục giác đều;
b) là các đường kính của đường tròn ;
c) Các tứ giác đều là hình thang cân.

Bài giải chi tiết:

a) Nối OA, OB, OC, OD, OE, OF.

Từ giả thiết ta có sáu cung AB, AC, CE, EF, FD, DB bằng nhau nên

Xét ∆AOB và ∆BOD có:

OA = OB; ; OB = OD.

Do đó ∆AOB = ∆BOD (c.g.c), suy ra AB = BD (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, ta có AB = AC = CE = EF = FD = R.

Nên AB = AC = CE = EF = FD = DB. (1)

Ta có:

Suy ra , do đó

Xét ∆AOB có OA = OB và                           nên ∆AOB là tam giác đều.

Do đó

Chứng minh tương tự, ta cũng có ∆OAC đều nên

Khi đó,

Tương tự, ta chứng minh được:

Từ (1) và (2) ta có ABDFEC là lục giác đều.

b) Do ABDFEC là lục giác đều nên ba đường chéo AF, BE, CD cắt nhau tại O.

Do đó AF, BE, CD là các đường kính của đường tròn (O; R).

c) Chứng minh tương tự ở câu a, ta chứng minh được ∆AOC, ∆OCE là các tam giác đều. Suy ra

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AO // CE hay AF // CE.

Tứ giác ACEF có AF // CE nên là hình thang.

Lại có nên ACEF là hình thang cân.

Chứng minh tương tự, ta cũng có các tứ giác ABDC, BECA đều là hình thang cân.

Bài 10 (trang 108):

 Cho tam giác đều cạnh . Vẽ về phía ngoài tam giác các hình chữ nhật và sao cho . Tìm hệ thức liên hệ giữa và để hình lục giác là lục giác đều.

Bài giải chi tiết:

Gọi là trung điểm của và là giao điểm của các đường thẳng và .
Ta có: ,

Do đó . Kẻ vuông góc với ( thuộc . Tam giác vuông có và nên do đó .
Nếu là lục giác đều thì , do đó hay . Ngược lại, nếu thì và các cạnh của lục giác bằng nhau (1). Mặt khác, các góc của lục giác đều bằng nên lục giác là lục giác đều. Vậy hệ thức liên hệ giữa và để lục giác là lục giác đều là .
Bài 11 (trang 108): Tính số đo mỗi góc của một đa giác đều có cạnh trong mỗi trường hợp sau:
a) ;
b)
c) .

Bài giải chi tiết:

Để tính số đo mỗi góc của một đa giác đều có cạnh, ta sử dụng công thức:
Số đo mỗi góc
a)  

Số đo mỗi góc
b)  

Số đo mỗi góc
c)  

Số đo mỗi góc

Bài 12 (trang 108):
Cho đa giác đều . Chứng minh các đường trung trực của các cạnh cùng đi qua một điểm.

Bài giải chi tiết:

Gọi là tâm của đa giác đều . Ta có suy ra nằm trên đường trung trực của cạnh . Tương tự ta có nằm trên các đường trung trực của các đoạn . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.