CHƯƠNG VIII: ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

BÀI 1: ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC.

Bài 1 (trang 84): Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó.
b) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền.

Bài giải chi tiết:

Phát biểu c) đúng.

Bài 2 (trang 84): Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau:
a) Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó.
b) Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
c) Tam giác đều cạnh có bán kính đường tròn ngoại tiếp là .
d) Tam giác đều cạnh có bán kính đường tròn nội tiếp là .

Bài giải chi tiết:

Phát biểu c), d) sai.

Bài 3 (trang 85):

Cho tam giác cân tại , có lẩn lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác .
a) Chứng minh rằng:
điểm cùng thuộc một đường thẳng;

- Đường thẳng vuông góc với và đi qua điểm chính giữa (khác điểm ) của cung .
b) Cho . Tính độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác .

Bài giải chi tiết:

a)

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (O): Là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là tâm của đoạn thẳng nối trung điểm của cạnh BC với đỉnh A.

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (I): Là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tức là điểm đối xứng của trọng tâm của tam giác qua đỉnh A.

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, với O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I  là tâm đường tròn nội tiếp, do đó AO và AI là các đường trung tuyến của tam giác, và chúng cùng đồng quy với đỉnh A. Điều này suy ra A, O, I thẳng hàng trên đường trung tuyến của tam giác ABC từ A đến trung điểm của BC.

- Đường thẳng OA: Là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên  OA cũng là đường phân giác góc của tam giác, và do đó nó cũng là đường trung tuyến của tam giác.

- Điểm chính giữa D của cung BC: Đây là điểm chính giữa của đoạn thẳng BC, cách A một nửa đoạn BC và là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC.

Vì OA là đường trung tuyến của tam giác ABC, nó cắt BC tại điểm chính giữa của BC. Theo tính chất của đường trung tuyến, nó luôn vuông góc với cạnh tương ứng của tam giác và đi qua điểm chính giữa của nó. Do đó, đường thẳng  OA vuông góc với BC và đi qua điểm chính giữa D  của cung BC.

b)

Do nên ta có . Lại có nên , suy ra . hay . Do đó, .
Do là phân giác của góc nên . Ta có hay , tức là . Vì vậy .

Bài 4 (trang 85):

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác trong các trường hợp sau:
a) đều nhọn;
b) ;
c) .

Bài giải chi tiết:

a)

b)

c)

Bài 5 (trang 85):

Cho tam giác nhọn . Các đường cao của tam giác cắt nhau tại . Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:
a) Tam giác ;
b) Tam giác ;
c) Tam giác .

Bài giải chi tiết:

a) Gọi là trung điểm của . Do tam giác vuông ở và vuông ở nên . Do đó, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
b) Do , ta có là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
c) Gọi là trung điểm của . Do tam giác vuông ở và tam giác vuông ở nên . Do đó, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Bài 6 (trang 85):

Cho tam giác nhọn , phân giác . Gọi lần lượt là tâm đường trò̀ ngoại tiếp các tam giác . Chứng minh rằng:
a) lần lượt là các đường trung trực của ;
b) Tam giác cân.

Bài giải chi tiết:

a) Do và nên là đường trung trực của . Tương tự lần lượt là các đường trung trực của .
b) Gọi lần lượt là trung điểm của , là giao điểm của và . Ta có
Mặt khác nên .
Suy ra:
(2). Từ (1) và (2) suy ra .

Do đó, tam giác cân tại .

Bài 7 (trang 85):

Trên đường tròn bán kính , lấy các điểm sao cho sđ , sđ , sđ (Hinh 7).

a) Xác định tâm và tính theo bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác , .
b) Gọi là giao điểm của và . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác .

Bài giải chi tiết:

a) Gọi là trọng tâm của tam giác . Tam giác là tam giác đều với cạnh nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là và bán kính đường tròn ngoại tiếp là . Tam giác vuông tại , có cạnh huyền nên tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp của nó lần lượt là trung điểm của và .
Tương tự tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt là trung điểm của và . Gọi là trung điểm của và giao điểm của tia và cung nhỏ là . Dễ thấy là điểm chính giữa của cung nhỏ và . Vậy tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt là và .
b) Do nên hay vuông góc với . Mặt khác, và do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác lần lượt là: .

Bài 8 (trang 86):

Cho tam giác vuông tại có , bán kính đường tròn nội tiếp là , bán kính đường tròn ngoại tiếp là . Tính .

Bài giải chi tiết:

Tam giác vuông tại có do đó 

 và . 

Lại có . Suy ra .

Bài 9 (trang 86):

Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm , bán kính .
a) Chứng minh rằng cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
b) Vẽ tam giác ngoại tiếp đường tròn vơi . Chứng minh tam giác đều.
c) Gọi là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác và là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác . Tính .

Bài giải chi tiết:

a) Vì tam giác ABC là tam giác đều, và đường tròn nội tiếp có tâm là O, nên tâm O của đường tròn nội tiếp này cũng là điểm cân của tam giác ABC, tức là điểm đối xứng với trọng tâm của tam giác qua tâm O.

Vì vậy, O không chỉ là tâm của đường tròn ngoại tiếp (đã cho) mà còn là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC.

b) Do và nên tứ giác là hình bình hành. Mặt khác, .
Suy ra hay .
Tương tự .
Do đó, tam giác là tam giác đều.
c) mà nên .

Vậy .

Bài 10 (trang 86):

Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm phân biệt . Đường thẳng cắt và lần lượt tại hai điểm (khác điểm ). Đường thẳng cắt và lần lượt tại hai điểm (khác điểm ). Chứng minh:
a) thẳng hàng;
b) Bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn;
c) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Bài giải chi tiết:

a) Vì  C  là điểm cắt của đường thẳng AO với đường tròn (O), và F là điểm cắt của đường thẳng AO' với đường tròn (O'), nên theo tính chất của đường thẳng chứa hai điểm cắt, ta có C, A, F thẳng hàng (vì chúng đều nằm trên đường thẳng  AO').

Tương tự, C là điểm cắt của đường thẳng AO với đường tròn (O), và B là điểm cắt của đường thẳng AB với đường tròn (O), nên C, A, B thẳng hàng (vì chúng đều nằm trên đường thẳng  AO).

Do đó, C, B, F cũng thẳng hàng vì chúng là các điểm nằm trên cùng một đường thẳng AO .

b) Để chứng minh C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn, ta sử dụng tính chất của đường thẳng chứa các điểm cắt của đường thẳng đi qua tâm và cắt đường tròn.

- C và  E là hai điểm cắt của đường thẳng AO  với đường tròn (O) .

- D và  F là hai điểm cắt của đường thẳng AO' với đường tròn (O') .

Vì các điểm này là các điểm cắt của đường thẳng qua tâm của các đường tròn với các đường tròn chính chứa A, O, O', nên chúng đều nằm trên đường tròn có đường kính là đoạn thẳng AO và  AO' .

Do đó, C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

c)

Để chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE, ta cần chứng minh rằng AB = AD = AE .

- AB là đoạn thẳng nối hai điểm cắt A và B của đường tròn (O) .

- AD là đoạn thẳng nối hai điểm cắt A và D của đường tròn (O) .

- AE là đoạn thẳng nối hai điểm cắt A và E của đường tròn (O') .

Vì AB, AD, AE đều là các dây cung của các đường tròn từ A, và theo tính chất của các dây cung từ một điểm đến các điểm cắt trên đường tròn, nên chúng đều bằng nhau.

Vậy, A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE .

Bài 11* (trang 86):
Cho tam giác vuông cân tại và nội tiếp đường tròn là điểm tùy ý trên cung nhỏ của đường tròn đó. Gọi là giao điểm của và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng khi di chuyển trên cung nhỏ thì luôn di chuyển trên một đoạn thẳng cố định.

Bài giải chi tiết:

Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn ). 

Mặt khác, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , do đó . 

Mà suy ra tam giác vuông cân tại , do đó . 

Lại có , suy ra nằm trên .

 Vậy khi di chuyển trên cung nhỏ thì di chuyển trên đoạn thẳng cố định.