BÀI 1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Mở đầu Trong thiết kế logo ở Hình 1, đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. 

Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác được gọi là gì ?

Giải rút gọn:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác.

I. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC 

Hoạt động 1 (trang 68):

Cho biết các đỉnh của tam giác ABC(Hình 2) có thuộc đường tròn (O) hay không?

Giải rút gọn:

Các đỉnh A, B, C thuộc đường tròn (O)

Luyện tập, vận dụng 1 (trang 69):

Quan sát Hình 4 và cho biết trong hai đường tròn (O) và (I), đường tròn nào ngoại tiếp tam giác ABC, đường tròn nào ngoại tiếp tam giác ABD?

Giải rút gọn:

Đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC vì nó đi qua 3 điểm A, B, C.

Đường tròn (I) ngoại tiếp ∆ABD vì nó đi qua 3 điểm A, B, D.

Hoạt động 2 (trang 69):

Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực (Hình 5).

a) Các đoạn thẳng OA,OB và OC có bằng nhau hay không?

b) Đặt R = OA. Đường tròn (O;R) có phải đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC không? Vì sao?

Giải rút gọn:

a) Xét ∆ABC:

O nằm trên đường trung trực của AB ⇒ OA = OB

O nằm trên đường trung trực của AC ⇒ OA = OC

O nằm trên đường trung trực của BC ⇒ OB = OC

⇒ OA = OB = OC.

b) (O;R) có: R = OA = OB = OC 

⇒ (O;R) đi qua ba điểm A, B, C 

⇒ (O;R) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Hoạt động 3 (trang 70):

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC(Hình 7). Đường tròn (O;OB) có phải là đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC hay không?

Giải rút gọn:

∆ABC vuông tại A có: O là trung điểm của BC

⇒

⇒ (O;OB) đi qua ba đỉnh của ∆ABC 

⇒ (O; OB) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Luyện tập, vận dụng 2 (trang 70):

Nêu cách sử dụng êke để xác định tâm của một đường tròn bất kì khi chưa biết tâm của nó.

Giải rút gọn:

Bước 1:  Chọn một điểm M bất kì trên đường tròn

Bước 2: Đặt đỉnh vuông góc của êke trùng M, vạch một đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke, đường thẳng này sẽ cắt đường trong tại A và B 

Bước 3: Giữ nguyên vị trí đỉnh vuông góc của êke tại M, xoay êke góc 90. Vạch một đường thẳng khác qua cạnh huyền của êke, đường thẳng này sẽ cắt đường trong tại C và D. 

Bước 4: Giao điểm của hai đường thẳng AB và CD chính là tâm O của đường tròn.

Hoạt động 4 (trang 70):

Cho tam giác đều ABC cạnh a, ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm O(Hình 8).

a) AM, BN, CP có là các đường trung trực của tam giác ABC hay không?

b) Điểm O có là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay không?

c) Tính AM theo a.

d) Tính OA theo a.

Giải rút gọn:

a) Xét ∆ABC đều:

AM, BN, CP là các đường trung tuyến

⇒ AM, BN, CP đồng thời là các đường trung trực

b) 3 đường trung trực AM,BN,CP của ΔABC cắt nhau tại O

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. 

c) M là trung điểm BC ⇒ MC=

=

d) O là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ AO =

Luyện tập, vận dụng 3 (trang 71):

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; 2 cm). Tính AB.

Giải rút gọn:

(O;2 cm) ngoại tiếp tam giác đều ABC

⇒ 2 =

⇒ AB =

II. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC 

Hoạt động 5 (trang 71):

Cho tam giác ABC và đường tròn (I) ( Hình 9). Nêu vị trí tương đối của các đường thẳng AB,BC,CA với đường tròn (I).

Giải rút gọn:

Đường thẳng AB, BC,CA tiếp xúc với đường tròn (I).

Luyện tập, vận dụng 4 (trang 72):

Trong hình 11, đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp những tam giác nào?

Giải rút gọn:

Đường tròn (I) nội tiếp ΔABC và ΔDEC.

Hoạt động 6 (trang 72):

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB (Hình 12).

a) So sánh các đoạn thẳng IM,IN và IP.

b) Đặt r = IM. Đường tròn (I;r) có phải là đường tròn nội tiếp tam giác ABC hay không? Vì sao?

Giải rút gọn:

a) Xét  ΔBPI và ΔBMI có:

=

= =

BI chung

⇒ ΔBPI = ΔBMI

⇒ IP=IM

Chứng minh tương tự: ΔAPI = ΔANI ⇒ IP = IN

⇒ IM = IN = IP (đpcm)

b) r = IM = IN = IP ⇒ Đường tròn (I;r) nội tiếp ΔABC.

Luyện tập, vận dụng 5 (trang 73):

Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O;6 cm). Tính AB.

Giải rút gọn:

(O;6 cm) nội tiếp tam giác đều ABC

⇒ 6 =

⇒ AB =

III. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1 (trang 73):

Trong các hình 15a,15b,15c,15d, ở hình nào ta có đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC? Ở hình nào ta có đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC? Vì sao?

Giải rút gọn:

Hình 15a: đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì nó đi qua ba đỉnh A, B, C

Hình 15d: đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC vì ba cạnh của tam giác tiếp xúc với đường tròn (O) 

Bài 2 (trang 74):

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, AC = 12cm.·

Giải rút gọn:

= cm

⇒ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A: 

R =

Bài 3 (trang 74):

Cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều bằng 4cm. Tính cạnh của tam giác đều đó.

Giải rút gọn:

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều: r =.

Bài 4 (trang 74):

Một chiếc máy quay ở đài truyền hình được đặt trên giá đỡ ba chân, các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là ba đỉnh A,B,C của tam giác đều ABC( Hình 16). Tính khoảng cách giữa hai vị trí A và B, biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 4dm.

Giải rút gọn:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC: 4 =

⇒ AB =

Vậy AB = .

Bài 5 (trang 74):

Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

a) DB ⊥ AB và CD ⊥AC;

b) Tứ giác BHCD là hình bình hành;

c)

d) Ba điểm H,M,D thẳng hàng và AH = 2OM;

Giải rút gọn:

a) là góc nội tiếp chắn cung AD

⇒

⇒ DB ⊥ AB

Tương tự: CD ⊥ AC

b)Kẻ BF ⊥ AC tại F; CE ⊥ AB tại E; BF CE = H

DC ⊥ AC; BF ⊥ AC

DC // HB (1)

CE ⊥ AB; DB ⊥ AB

CH//BD (2)

Từ (1) và (2): tứ giác BHCD là hình bình hành

c) BHCD là hình bình hành DC = BH

(AD = 2R) (đpcm)

d) BHCD là hình bình hành, M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

H, D, M thẳng hàng (đpcm)

Xét (O): M là trung điểm của dây cung BC

OM ⊥ BC

Mà AH ⊥ BC (H là trực tâm tam giác ABC)

OM // AH

Xét  ΔADH: 

O, M lần lượt là trung điểm của AD, DH

OM // AH

AH = 2OM

Bài 6 (trang 74):

Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ADC lần lượt ngoại tiếp các đường tròn (I) và (K) sao cho hai đường tròn này cùng tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC. Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M, đường tròn (K) tiếp xúc với cạnh AD tại N( hình 17). Chứng minh:

a) Ba điểm I,H, K thẳng hàng.

b) AM=AN.

c)

Giải rút gọn:

a) AC tiếp xúc với (I) tại H IH ⊥ AC

AC tiếp xúc với (K) tại H HK ⊥ AC

I,H,K thẳng hàng.

b) AB, AC là tiếp tuyến của (I) AH = AM 

AD, AC là tiếp tuyến của (K) AH = AN 

AM = AN (= AH)

c) (I) nội tiếp ΔABC AI là tia phân giác của

(K) nội tiếp ΔADC AK là tia phân giác của

= =