BÀI 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Mở đầu: Một nhóm khách vào cửa hàng bán trà sữa. Nhóm khách đó đã mua 6 cốc trà sữa gồm trà sữa trân châu và trà sữa phô mai. Giá mỗi cốc trà sữa trân châu, trà sữa phô mai lần lượt là 33 000 đồng, 28 000 đồng. Tổng số tiền nhóm khách thanh toán cho cửa hàng là 188 000 đồng. Hỏi nhóm khách đó mua bao nhiêu cốc trà sữa mỗi loại?

Giải rút gọn:

Gọi x và y lần lượt là số cốc trà sữa trân châu và trà sữa phô mai nhóm khách đã mua (x,y

⇒

⇒

⇒

Vậy nhóm khách đã mua 4 cốc trà sữa trân châu, 2 cốc trà sữa phô mai.

I. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Hoạt động 1 (trang 19):

Cho hệ phương trình (I)

Hãy giải hệ phương trình (I) theo các bước sau:

a) Từ phương trình (1), ta biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình (2) để được phương trình ẩn x.

b) Giải phương trình (ẩn x) vừa nhận được để tìm giá trị của x.

c) Thế giá trị vừa tìm được của x vào biểu thức biểu diễn y theo x ở câu a để tìm giá trị của y. Từ đó, kết luận nghiệm của hệ phương trình (I).

Giải rút gọn:

a) Từ phương trình (1):

Thay vào phương trình (2): 

⇔ 5x - 5 = 0(3)

b) Giải phương trình (3):

Vậy x = 1

c) Với x = 1: y = 1 + 3 = 4

Vậy (x ; y) = (1 ; 4).

Luyện tập, vận dụng 1 (trang 20):

Giải hệ phương trình 

Giải rút gọn:

Từ (1): x = 2 + 3y   (3)

Thay vào (2): –2(2 + 3y) + 5y = 1 (4)

Giải (3):

Thay y = vào (3): x =

Vậy (x ; y) = (.

Luyện tập, vận dụng 2 (trang 20):

Giải rút gọn:

Từ (2):

Thay vào (1):            (4)

Giải (4): 0 (vô lý). 

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Luyện tập, vận dụng 3 (trang 21):

Giải rút gọn:

Từ (1): x = 4 + 3y (3)               

Thay vào (2): (4)             

Giải (4): 0y =0 (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

II. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Hoạt động 2 (trang 21):

Cho hệ phương trình     (II)

a) Các hệ số của y trong hai phương trình (1) và (2) có đặc điểm gì?

b) Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận được phương trình nào?

c) Giải phương trình nhận được ở câu b. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (II).

Giải rút gọn:

a) Hệ số y trong hai phương trình đối nhau.

b) Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II): 2x = 8

c) 2x = 8 ⇒ x = 4

Thay x = 4 vào (1): 4 + y = 7   (3)

Giải (3): y = 3.

Vậy (x ; y) = (4 ; 3).

Luyện tập, vận dụng 4 (trang 21):

Giải hệ phương trình:

Giải rút gọn:

Trừ từng vế của (2) và (1): x = 1.

Thế x = 1 vào (1): 3.1 + 2.y = 5   (3)

Giải (3): y = 1.

Vậy (x ; y) = (1 ; 1).

Hoạt động 3 (trang 22):

Cho hệ phương trình (III)

a) Các hệ số của x trong hai phương trình (1) và (2) có bằng nhau (hoặc đối nhau) hay không? Các hệ số của y trong hai phương trình (1) và (2) có bằng nhau (hoặc đối nhau) hay không?

b) Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với 2, ta được hệ phương trình mới với hệ số của x trong hai phương trình đó có đặc điểm gì?

c) Giải hệ phương trình nhận được ở câu b. Từ đó, ta được nghiệm của hệ phương trình (III).

Giải rút gọn:

a) Các hệ số của x trong phương trình (1) và (2) không đối nhau hoặc bằng nhau.

Các hệ số y của trong hai phương trình (1) và (2) không đối nhau hoặc bằng nhau.

b) Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với 2:

Hệ số x trong hai phương trình đối nhau.

c)

Cộng từng vế của (3) và (4): 29y = (5)

Giải (5): y = -1.

Thế y = -1 vào (1): 2x + 5(-1)= -3 (6)

Giải (6): x =1.

Vậy (x ; y) = (1 ; -1).

Luyện tập, vận dụng 5 (trang 23):

Giải bài toán ở phần mở đầu.

Giải rút gọn:

Gọi x và y lần lượt là số cốc trà sữa trân châu và trà sữa phô mai nhóm khách đã mua (x,y

Từ (1): (3)

Thay vào (2): (4)

Giải (4):

Thay y = 2 vào (3): x = 4

Vậy nhóm khách đã mua 4 cốc trà sữa trân châu, 2 cốc trà sữa phô mai.

III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Luyện tập, vận dụng 6 (trang 24):

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình 

Giải rút gọn:

Sử dụng máy tính cầm tay: x =

Vậy (x ; y) =

IV. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1 (trang 25):

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a)

b)

c)

Giải rút gọn:

Từ (1): x = 2y       

Thế vào (2): 3.(2y) + 2y = 8 (3)       

Giải (3):y = 1

Mà x = 2y → x = 2

Vậy (x ; y) = (2 ; 1).

b)

Từ (2): y =

Thay vào (1):        (3)

Giải (3): 0x = 0 (luôn đúng)

Vậy hệ có vô số nghiệm.

Từ (2): y = 2x

Thế vào (1): 4x – 2.2x = 1 (3)

Giải (3): 0x = 1 (vô lý)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 2 (trang 25):

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a)

b)

c)

d)

Giải rút gọn:

a)

Cộng từng vế (1) với (2): 3x = 6 (3)

Giải (3): x =2

Thay x = 2 vào (2): y = 0

Vậy (x ; y) = (2 ; 0).

b)

Nhân (2) với 2 được hệ phương trình mới:

Trừ từng vế (3) cho (4): 11y = 11 (5)

Giải (5): y = 1

Thay y = 1 vào (1): x =

Vậy (x ; y) =

c)

Chia (1) cho 6 được hệ phương trình mới:

Cộng từng vế (3) và (4): 0x + 0y = 0 (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

d)

Chia (2) cho 2 được hệ phương trình mới:

Cộng từng vế (3) và (4): 0x + 0y = 10 (vô lý)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 3 (trang 25):

Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax +b đi qua hai điểm A, B trong mỗi trường hợp sau: 

a) A(1 ; – 2) và B(– 2 ; – 11); 

b) A(2 ; 8) và B (– 4 ; 5).

Giải rút gọn:

a)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(1 ; – 2): a + b = – 2 (1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua B(– 2 ; – 11): – 2a + b = – 11 (2)

⇒ a, b là nghiệm của hệ phương trình:

Trừ từng vế của (1) cho (2): a = 3

Thay a = 3 vào (1): b = – 5

Vậy y = 3x – 5. 

b) 

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(2 ; 8): 2a + b = 8 (1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua B(– 4 ; 5): – 4a + b = 5 (2)

⇒ a, b là nghiệm của hệ phương trình:

Trừ từng vế của (1) cho (2): a =

Thay a = vào (1): b = 7

Vậy y = . 

Bài 4 (trang 25):

Một ca nô đi xuôi dòng một quãng đường 42 km hết 1 giờ 30 phút và ngược dòng quãng đường đó hết 2 giờ 6 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước. Biết rằng tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường và tốc độ của dòng nước cũng không đổi khi ca nô chuyển động.

Giải rút gọn:

Đổi: 1h30p = giờ; 2 giờ 6 phút =

Gọi x và y lần lượt là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng và vận tốc của dòng nước (km/h) (x, y > 0)

Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng: x + y (km/h) 

⇒  hay x + y = 28    (1) 

Vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng: x – y (km/h) 

⇒ hay x – y = 20 (2)

⇒  x, y là nghiệm của hệ phương trình:

Cộng từng vế (1) và (2): x = 24

Thay x = 24 vào (1): y = 4

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Bài 5 (trang 25):

Bác Phương chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai 8%/năm. Tính số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản.

Giải rút gọn:

Gọi x và y lần lượt là số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai (triệu đồng) (0 < x, y < 800)

⇒ x + y = 800 (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm: 6%.x = 0,06x

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm: 8%.y = 0,08y

⇒ 0,06x + 0,08y = 54

Hay 6x + 8y = 5400 (2)

x và y là nghiệm của hệ phương trình:

Nhân (1) với 3, chia (2) cho 2 được hệ phương trình mới: 

Trừ (4) cho (3): y = 300

Thế y = 300 vào (1): x = 500

Vậy số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng, khoản thứ hai là 300 triệu đồng.

Bài 6 (trang 25):

Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Giải rút gọn:

Gọi x, y lần lượt là giá niêm yết của tủ lạnh và máy giặt (triệu đồng) 

(0 < x, y < 25,4)

⇒ x + y = 25,4    (1)

Giá của tủ lạnh sau khi được giảm giá: 0,6x

Giá của máy giặt sau khi được giảm giá: 0,75y

⇒ 0,6x + 0,75y = 16,77 (2)

x và y là nghiệm của hệ phương trình: 

Nhân (1) với 0,6 được hệ phương trình mới:

Trừ từng vế (4) cho (3): y = 10,2 

Thay y = 10,2 vào (1): x = 15,2 

Vậy giá niêm yết lúc đầu của tủ lạnh là 15,2 triệu đồng và của máy giặt là 10,2 triệu đồng.

Bài 7 (trang 25):

Tìm các hệ số x, y để cân bằng mỗi phương trình phản ứng hóa học sau:

a) 2Fe + yCl₂  → xFeCl₃;

b) xFeCl₃ + Fe ₂

Giải rút gọn:

a) 2Fe + yCl₂   → xFeCl₃;

Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe, Cl:

2 = x  (1)

2y = 3x (2)

Thay x = 2 từ (1) vào (2): 2y = 6 ⇒ y = 3

Vậy 2Fe + 3Cl₂  → 2FeCl₃

b) xFeCl₃ + Fe ₂

Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe, Cl:

x + 1 = y      (1)

3x = 2y        (2)

Thế y từ (1) vào (2): 3x = 2(x + 1) ⇒ x = 2

Thay x = 2 vào (1): y = 3

Vậy 2FeCl₃ + Fe ₂