BÀI 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Mở đầu: Một nhóm khách vào cửa hàng bán trà sữa. Nhóm khách đó đã mua 6 cốc trà sữa gồm trà sữa trân châu và trà sữa phô mai. Giá mỗi cốc trà sữa trân châu, trà sữa phô mai lần lượt là 33 000 đồng, 28 000 đồng. Tổng số tiền nhóm khách thanh toán cho cửa hàng là 188 000 đồng. Hỏi nhóm khách đó mua bao nhiêu cốc trà sữa mỗi loại?

Giải nhanh:

Gọi x là số cốc trà sữa trân châu mà nhóm khách đã mua (x

Gọi y là số cốc trà sữa phô mai mà nhóm khách đã mua (y

Số tiền mua trà sữa trân châu là x.33 000 (đồng)

Số tiền mua trà sữa phô mai là y.28 000 (đồng)

Ta có:

Từ (1) ta có:

Thay vào (2) ta được:

x.33 000 + (6 – x). 28 000 = 188 000

=>

Vậy nhóm khách đã mua 4 cốc trà sữa trân châu, 2 cốc trà sữa phô mai.

I. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Hoạt động 1 trang 19 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hệ phương trình (I)

Hãy giải hệ phương trình (I) theo các bước sau:

a) Từ phương trình (1), ta biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình (2) để được phương trình ẩn x.

b) Giải phương trình (ẩn x) vừa nhận được để tìm giá trị của x.

c) Thế giá trị vừa tìm được của x vào biểu thức biểu diễn y theo x ở câu a để tìm giá trị của y. Từ đó, kết luận nghiệm của hệ phương trình (I).

Giải nhanh:

a) Từ phương trình (1) ta có

Thay vào phương trình (2) ta được

(3)

b) Giải phương trình (3)

Vậy x = 1

c) y = x + 3 = 1 + 3 = 4

Vậy x = 4

Luyện tập, vận dụng 1 trang 20 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải hệ phương trình 

Giải nhanh:

Từ (1) ta có x = 2 + 3y         (3)

Thay vào phương trình (2), ta được: –2(2 + 3y) + 5y = 1 (4)

Giải phương trình (4):

Thay y = vào phương trình (3), ta có

x =

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (.

Luyện tập, vận dụng 2 trang 20 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải nhanh:

Từ phương trình (2), ta có:

Thay vào phương trình (1), ta được            (4)

Giải phương trình (4):

Do đó, phương trình (4) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Luyện tập, vận dụng 3 trang 21 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải nhanh:

Từ phương trình (1) ta có: x = 4 + 3y                (3)

Thay vào phương trình (2), ta được:               (4)

Giải phương trình (4):               

0y =0

Do đó, phương trình (4) có vô số nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

II. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Hoạt động 2 trang 21 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hệ phương trình     (II)

a) Các hệ số của y trong hai phương trình (1) và (2) có đặc điểm gì?

b) Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận được phương trình nào?

c) Giải phương trình nhận được ở câu b. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (II).

Giải nhanh:

a) Đối nhau.

b) 2x = 8

c) (x ; y) = (4 ; 3).

Luyện tập, vận dụng 4 trang 21 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải hệ phương trình

Giải nhanh:

(x ; y) = (1 ; 1).

Hoạt động 3 trang 22 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hệ phương trình

a) Các hệ số của x trong hai phương trình (1) và (2) có bằng nhau (hoặc đối nhau) hay không? Các hệ số của y trong hai phương trình (1) và (2) có bằng nhau (hoặc đối nhau) hay không?

b) Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với 2, ta được hệ phương trình mới với hệ số của x trong hai phương trình đó có đặc điểm gì?

c) Giải hệ phương trình nhận được ở câu b. Từ đó, ta được nghiệm của hệ phương trình (III).

Giải nhanh:

a) Các hệ số x đối nhau

Các hệ số y không đối nhau hoặc bằng nhau.

b) Hệ số x trong hai phương trình đối nhau.

c) Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: 

29y = (5)

=> y =

Thế giá trị y = vào phương trình (1), ta được phương trình: 

2x + 5(=                  (6)

Giải phương trình (6): 

2x + 5(= => x =1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (1 ; -1).

Luyện tập, vận dụng 5 trang 23 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải bài toán ở phần mở đầu.

Giải nhanh:

Gọi x là số cốc trà sữa trân châu mà nhóm khách đã mua (x

Gọi y là số cốc trà sữa phô mai mà nhóm khách đã mua (y

Số tiền mua trà sữa trân châu là x.33 000 (đồng)

Số tiền mua trà sữa phô mai là y.28 000 (đồng)

Ta có:

Từ (1) ta có:

Thay vào (2) ta được:

x.33 000 + (6 – x). 28 000 = 188 000

=>

=>

Vậy nhóm khách đã mua 4 cốc trà sữa trân châu, 2 cốc trà sữa phô mai.

III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Luyện tập, vận dụng 6 trang 24 sgk toán 9 tập 1 cánh diều.

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình

Giải nhanh:

(x ; y) =

IV. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải nhanh bài 1 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

b)

Giải nhanh:

Từ phương trình thứ (1), ta có x = 2y       

Thế vào (2), ta được: 3.(2y) + 2y = 8         (3)

Giải phương trình (3) ta được:

3.(2y) + 2y = 8 => y = 1

Mà x = 2y nên x = 2.1 = 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y) = (2 ; 1).

b)

Từ phương trình (2), ta có: y =

Thay vào phương trình (1), ta được:        (3)

Giải phương trình (3) 

0x = 0

Vậy phương trình (3) có vô số nghiệm

Từ phương trình (2), ta có: y = 2x

Thế vào phương trình (1), ta được: 4x – 2.2x = 1  (3)

Giải phương trình (3)

4x – 2.2x = 1 

4x – 4x = 1

0x = 1

Vậy phương trình (3) vô nghiệm

Giải nhanh bài 2 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a)

b)

c)

d)

Giải nhanh:

a)

Cộng từng vế phương trình (1) với phương trình (2) ta được: 3x = 6 (3)

Giải phương trình (3), ta được x =2

Thay x = 2 vào phương trình (2) ta có:

2 – y = 2

y = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (2 ; 0).

b)

Nhân phương trình (2) với 2 ta được hệ phương trình mới:

Trừ từng vế phương trình (3) cho phương trình (4) ta được: 11y = 11 (5)

Giải phương trình (5) ta có 11y = 11

y = 1

Thay y = 1 vào (1) ta được:

4x + 5.1 = 11

x

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho (x ; y) =

c)

Chia phương trình (1) cho 6, ta được hệ phương trình mới

Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta được: 0x + 0y = 0 (5)

Vậy phương trình (5) có vô số nghiệm

d)

Chia phương trình (2) cho 2, ta được hệ phương trình mới

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = 10 (5)

Vậy phương trình (5) vô nghiệm

Giải nhanh bài 3 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax +b đi qua hai điểm A, B trong mỗi trường hợp sau: 

a) A(1 ; – 2) và B(– 2 ; – 11); 

b) A(2 ; 8) và B (– 4 ; 5).

Giải nhanh:

a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1 ; – 2) nên ta có: – 2 = a.1 + b

Hay a + b = – 2 (1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm B(– 2 ; – 11) nên ta có: – 11 = a.(– 2) + b

Hay – 2a + b = – 11 (2)

Vậy a, b chính là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2)

Trừ từng vế của phương trình (1) cho (2), ta được 3a = 9

a = 3

Thay a = 3 vào phương trình a + b = – 2 

3 + b = – 2 

b = – 5

Vậy đồ thị hàm số có dạng: y = 3x – 5. 

b) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(2 ; 8) nên ta có: 8 = a.2 + b

Hay 2a + b = 8 (1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm B(– 4 ; 5) nên ta có: 5 = a.(– 4) + b

Hay – 4a + b = 5 (2)

Vậy a, b chính là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2)

Trừ từng vế của phương trình (1) cho (2), ta được 6a = 3

a =

Thay a = vào phương trình 2a + b = 8 

=> b = 7

Vậy đồ thị hàm số có dạng: y = . 

Giải nhanh bài 4 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Một ca nô đi xuôi dòng một quãng đường 42 km hết 1 giờ 30 phút và ngược dòng quãng đường đó hết 2 giờ 6 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước. Biết rằng tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường và tốc độ của dòng nước cũng không đổi khi ca nô chuyển động.

Giải nhanh:

Gọi x là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng 

Gọi y là vận tốc của dòng nước (x, y > 0)

Ta có 1 giờ 30 phút = giờ

2 giờ 6 phút =

Quãng đường (S) = Vận tốc (v) . Thời gian (t)

Ca nô đi xuôi dòng thì vận tốc là: x + y (km/h)

Ca nô đi ngược dòng thì vận tốc là: x – y (km/h)

Ca nô đi xuôi dòng quãng đường 42 km hết 1 giờ 30 phút nên ta có phương trình:

Hay x + y = 28    (1)

Ca nô đi ngược dòng quãng đường đó hết 2 giờ 6 phút nên ta có phương trình:

Hay x – y = 20     (2)

Nên x, y là nghiệm của hệ (1) và (2):

Giải hệ phương trình, ta cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: 

2x = 48

=> x = 24

Thay x = 24 vào phương trình (1), ta được: x + y = 28

=> y = 4

Vậy vận tốc của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Giải nhanh bài 5 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Bác Phương chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai 8%/năm. Tính số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản.

Giải nhanh:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất

Gọi y (triệu đồng) là số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ hai

(0 < x, y < 800)

Theo bài ra, ta có phương trình: x + y = 800    (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm, số tiền là:

6%.x = 0,06x

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm, số tiền là:

8%.y = 0,08y

Tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng, nên ta có phương trình:

0,06x + 0,08y = 54

Hay 6x + 8y = 5400            (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình. Nhân phương trình (1) với 3, chia phương trình (2) cho 2 ta có hệ phương trình mới:

Trừ phương trình (4) cho phương trình (3) ta được: y = 300

Thế y = 300 vào phương trình (1) ta được:

x + y = 800

=> x = 500

Vậy số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng, khoản thứ hai là 300 triệu đồng.

Giải nhanh bài 6 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của mottj chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Giải nhanh:

Gọi x, y (triệu đồng) lần lượt là giá niêm yết cua tủ lạnh và máy giặt 

(0 < x, y < 25,4)

Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổg số tiền là 25,4 triệu đồng, nên ta có: 

x + y = 25,4    (1)

Giá của tủ lạnh sau khi được giảm giá là: x – 40%.x = x – 0,4x = 0,6x

Giá của máy giặt sau khi được giảm giá là: y – 25%.y = y – 0,25y = 0,75y

Cô Liên mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng nên ta có phương trình:

0,6x + 0,75y = 16,77    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

Giải hệ phương trình, nhân phương trình (1) với 0,6 ta được hệ mới:

Trừ từng vế phương trình thứ (4) cho phương trình thứ (3) ta được phương trình: 0,15y = 1,53

y = 10,2 (thỏa mãn điều kiện)

Thay y = 10,2 vào phương trình (1) 

x + y = 25,4

=> x = 15,2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá niêm yết lúc đầu của tủ lạnh là 15,2 triệu đồng và của máy giặt là 10,2 triệu đồng.

Giải nhanh bài 7 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Tìm các hệ số x, y để cân bằng mỗi phương trình phản ứng hóa học sau:

a) 2Fe + yCl₂  xFeCl₃;

b) xFeCl₃ + Fe ₂

Giải nhanh:

Cân bằng theo định luật bảo toàn khối lượng, số nguyên tử  mỗi nguyên tố ở hai về phương trình hóa học bằng nhau.

a) 2Fe + yCl₂  xFeCl₃;

Ta có: Số nguyên tử Fe: 2 = x             (1)

Số nguyên tử Cl: 2y = 3x                    (2)

Thay x = 2 từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được 2y = 6 suy ra y = 3

Khi đó, phương trình hóa học được cân bằng như sau:

2Fe + 3Cl₂  2FeCl₃

b) xFeCl₃ + Fe ₂

Ta có: Số nguyên tử Fe: x + 1 = y       (1)

Số nguyên tử Cl: 3x = 2y                    (2)

Thế y từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được: 3x = 2(x + 1) 

Suy ra: 3x = 2x + 2

Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được: y = 3

Khi đó, phương trình hóa học được cân bằng như như sau:

2FeCl₃ + Fe ₂