BÀI 4. GÓC Ở TÂM. GÓC NỘI TIẾP

Mở đầu: Bác Ngọc dự định làm khung sắt cho khuôn cả sổ ngôi nhà có dạng đường tròn như Hình 44. Hai thanh chắn cửa sổ gợi nên một góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Góc có đặc điểm như vậy trong toán học gọi là góc gì?

Giải nhanh:

Góc nội tiếp

I. GÓC Ở TÂM

Hoạt động 1 trang 111 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O). Hãy vẽ góc xOy có đỉnh là tâm O của đường tròn đó.

Giải nhanh:

Luyện tập, vận dụng 1 trang 111 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Trong Hình 47, coi mỗi khung đồng hồ là một đường tròn, kim giờ, kim phút là các tia. Số đo góc ở tâm trong mỗi hình 47a, 47b, 47c, 47d là bao nhiêu?

Giải nhanh:

47a là 60

47b là 90

47c là 150

47d là 180

II. CUNG. SỐ ĐO CỦA CUNG

Hoạt động 2 trang 112 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Quan sát góc ở tâm AOB (khác góc bẹt) ở Hình 48, cho biết trong hai phần đường tròn được tô màu xanh và màu đỏ, phần nào nằm bên trong, phần nào nằm bên ngoài góc AOB.

Giải nhanh:

Phần màu đỏ nằm bên ngoài

Phần màu xanh nằm bên trong

Luyện tập, vận dụng 2 trang 114 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Trong Hình 53, tìm số đo cua các góc ở tâm:

Giải nhanh:

Do số học sinh chọn môn Bóng bàn chiếm 15% số lượng học sinh nên số đo cung nhỏ BC bằng 15% số đo của cung cả đường tròn. 

Vì thế sđ . Vì số đo cung nhỏ BC bằng số đo góc ở tâm BOC chắn cung đó nên = 54

Do số học sinh chọn môn Bóng đá chiếm 40% số lượng học sinh nên số đo cung nhỏ AD bằng 40% số đo của cung cả đường tròn.

Vì thế sđ Vì số đo cung nhỏ AD bằng số đo góc ở tâm DOA chắn cung đó nên = 144

III. GÓC NỘI TIẾP

Hoạt động 3 trang 115 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Trong Hình 55, đỉnh của góc AIB có thuộc đường tròn hay không? Hai cạnh của góc chứa hai dây cung nào của đường tròn?

Giải nhanh:

Đỉnh của góc AIB thuộc đường tròn.

Chứa hai dây cung IA và IB.

Luyện tập, vận dụng 3 trang 115 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hãy vẽ một đường tròn và hai góc nội tiếp trong đường tròn đó.

Giải nhanh:

Hoạt động 4 trang 115 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho góc AIB nội tiếp đường tròn tâm O đường kính IK sao cho tâm O nằm trong góc đó (Hình 57).

a) Các cặp góc và , và có bằng nhau hay không?

b) Tính các tổng + , +.

c) Tính các tổng + , + .

d) So sánh và 2, và 2, và 2.

Giải nhanh:

a) =

b) (tổng 3 góc trong một tam giác)

(tổng 3 góc trong một tam giác)

c) +

+

d) = 2;

= 2

Ta có  (1)

= 2  (2)

=> = 2( + ) = 2 (đpcm)

Luyện tập, vận dụng 4 trang 116 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB = R. Điểm C thuộc cung lớn AB, C khác A và B. Tính số đo góc ACB.

Giải nhanh:

Ta có AB = AO = BO = R

Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung

Góc nội tiếp ACB và góc ở tâm AOB cùng chắn cung 

= .

Hoạt động 5 trang 116 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Quan sát Hình 60 và nêu mối liên hệ giữa:

a) và sđ

b) và sđ

c) và

Giải nhanh:

a) = sđ

b) = sđ

c) = sđ

Luyện tập, vận dụng 5 trang 117 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Trong Hình 61, gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh IA.ID = IB.IC.

Giải nhanh:

Xét và có:

+

+ 2 góc cùng chắn cung )

=> đồng dạng (g-g)

=> hay IC.IB=ID.IA (đpcm)

IV. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK 

Giải nhanh bài 1 trang 117 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Quan sát Hình 62, hãy cho biết:

a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai điểm trong bốn điểm A, B, C, D;

b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm A, B, C, D.

Giải nhanh:

a)

b)

Giải nhanh bài 2 trang 117 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Cho đường tròn (O; R) và dây AB sao cho . Giả sử M, N lần lượt là các điểm thuộc cung lớn AB và cung nhỏ AB ( M, N khác A và B).

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

b) Tính số đo các góc ANB và AMB.

Giải nhanh:

a)  

b) Ta có OA = ON = R AON cân tại O

(tính chất tam giác cân) (1)

Ta có OB = ON = R BON cân tại O

(tính chất tam giác cân) (2)

Cộng hai vế (1) và (2) ta được:

Xét tứ giác AOBN có:

(tổng các góc trong 1 tứ giác)

Ta có OA = OM = R AOM cân tại O

(tính chất tam giác cân) (3)

Ta có OB = OM = R BOM cân tại O

(tính chất tam giác cân) (4  )

Cộng hai vế (3) và (4) ta được:

Xét tứ giác AMBN có:

(tổng các góc trong 1 tứ giác)

Giải nhanh bài 3 trang 117 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Trong Hình 63, cho biết AB = OA.

a) Tính số đo góc AOB.

b) Tính số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB của (O).

c) Tính số đo góc MIN.

d) Tính số đo cung nhỏ MN và cung lớn MN của (I).

e) Tính số đo góc MKN.

Giải nhanh:

a) (tính chất tam giác đều)

b)

Số đo cung AB nhỏ = 60^o.

Số đo cung AB lớn = 300^o.

c) Xét đường tròn (O) bán kính OA có:

là góc nội tiếp chắn cung AB nhỏ số đo cung AB nhỏ

Hay .

d) Xét đường tròn (I) có là góc ở tâm chắn cung MN nhỏ

= số đo cung MN nhỏ = 30^o.

Số đo cung NM lớn = 360^o – 30^o = 330^o.

e) Xét đường tròn (I) có là góc ở tâm chắn cung MN nhỏ

số đo cung MN nhỏ .

Giải nhanh bài 2 trang 117 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Biểu đồ hình quạt tròn ở Hình 64 biểu diễn các thành phần của một chai nước ép hoa quả (tính theo tỉ số phần trăm). Hãy cho biết các cung tương ứng với phần biểu diễn thành phần việt quất, táo, mật ong lần lượt có số đo là bao nhiêu.

Giải nhanh:

- Số đo cung chắn phần mật ong là: 36^o.

- Số đo cung chắn phần táo là: 108^o.

- Số đo cung chắn phần việt quất là: 216^o.

Giải nhanh bài 2 trang 117 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Cho hai đường tròn (O), (I) cắt nhau tại hai điểm A, B. Kẻ các đoạn thẳng AC, AD lần lượt là các đường kính của hai đường tròn (O), (I). Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Giải nhanh:

- Xét đường tròn (O) có: là góc nội tiếp chắn cung AC; AC là đường  kính

- Xét đường tròn (I) có: là góc nội tiếp chắn cung AD; AD là đường  kính

- Ta có:  

C, B, D thẳng hàng

Giải nhanh bài 6 trang 117 sgk toán 9 tập 1 cánh diều 

Hãy sử dụng compa và thước thẳng để vẽ tam giác ABC vuông tại A và giải thích cách làm.

Giải nhanh:

- Bước 1: Vẽ đường tròn, xác định tâm đường tròn.

- Bước 2: Kẻ đường kính BC.

- Bước 3: Chọn một điểm bất kỳ trên đường tròn kí hiệu là A ( A khác B, C)

Ta thu được ABC vuông tại A

Giải thích: Vì trong đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo góc bằng 90^o.