BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Mở đầu: Trên một khu đất có dạng hình vuông, người ta dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu đất để làm bể hơi (Hình 1). Biết diện tích của bể bơi bằng 1 250 m

Độ dài cạnh của khu đất bằng bao nhiêu mét?

Giải nhanh:

Độ dài một cạnh của khu đất là x

Chiều rộng bể bơi là x – 50 m

Chiều dài bể bơi là x – 25 m

Diện tích bể bơi: (x – 50)( x – 25) = 1250 m²

Ta có

(x – 50)( x – 25) = 1250

=> x = 0 (loại) hoặc x = 75 (thỏa mãn)

Vậy x = 75 m

I. PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG (ax + b) (cx + d) = 0 (a)

Hoạt động 1 trang 5 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

a. Cho hai số thực u, v có tích uv = 0. Có nhận xét gì về giá trị của u, v?

b. Cho phương trình

• Hãy giải mỗi phương trình bậc nhất sau: x – 3 = 0; 2x +1 = 0.
• Chứng tỏ rằng nghiệm của phương trình x – 3 = 0 và nghiệm của phương trình 2x + 1 = 0 đều là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0
• Giả sử x = là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0. Giá trị 

x = có phải là nghiệm của phương trình x – 3 = 0 hoặc phương trình 

2x + 1 = 0 hay không?

Giải nhanh:

a. u = 0 hoặc v = 0.

b. Cho phương trình

• Giải phương trình

x – 3 = 0

2x + 1 = 0

• Ta thay x = 3 vào (x – 3)(2x + 1) 

Ta được (3 – 3)(2.3 + 1) = 0.7 = 0

Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0;

Ta thay x = vào (x – 3)(2x + 1)

Ta được

Vậy x = là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0.

• Giả sử x = là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0.

Tức là ( =>

Vậy là nghiệm của phương trình x – 3 = 0 hoặc 2x + 1 = 0

Luyện tập, vận dụng 1 trang 6 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải phương trình

Giải nhanh:

x =  

Luyện tập, vận dụng 2 trang 7 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải các phương trình:

a.

b.

Giải nhanh:

a.

Ta có

TH1: x – 5 = 0

TH2: x – 10 = 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 5 và x = 10.

b.

Ta có

TH1: x + 2 = 0 x =

TH2:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là  x = và .

II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Hoạt động 2 trang 7 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho phương trình (1)

Tìm điều kiện của để cả hai mẫu thức có trong phương trình (1) là khác 0.

Giải nhanh:

x và x  

Hoạt động 3 trang 8 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho phương trình: (2)

Hãy giải phương trình (2) theo các bước sau:

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2).

b) Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức các phân thức ở hai vế của phương trình (2) và khử mẫu.

c) Giải phương trình vừa tìm được.

d) Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình (2) đối với các giá trị của ẩn vừa tìm được rồi kết luận.

Giải nhanh:

a) x

b)

c) x =

d) Ta đấy x = thỏa mãn điều kiện xác định nên x = là nghiệm của phương trình đã cho.

Luyện tập, vận dụng 3 trang 8 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

Giải nhanh:

x

Luyện tập, vận dụng 4 trang 9 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải phương trình:

Giải nhanh:

Điều kiện xác định:

x = 0 (thỏa mãn điều kiện) hoặc x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0.

Luyện tập, vận dụng 5 trang 10 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Một đội công nhân làm đường nhận nhiệm vụ trải nhựa 8 100 m² mặt đường. Ở giai đoạn đầu, đội trải được 3 600 m² mặt đường. Ở giai đoạn hai, đội công nhân tăng năng suất thêm 300 m² /ngày rồi hoàn thành công việc. Hỏi đội công nhân đã hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngay? Biết năng suất lao động của đội là không thay đổi ở mỗi giai đoạn và thời gian làm việc của hai giai đoạn là như nhau. 

Giải nhanh:

Gọi số ngày làm việc ở mỗi giai đoạn của đội công nhân là x (ngày) (x > 0)

Như vậy, ở giai đoạn đầu, số m² mặt đường mỗi ngày mà đội công nhân trải được là

Ở giai đoạn hai, số m² mặt đường mỗi ngày mà đội công nhân trải được là

Vậy ta có phương trình 

3600 + 3600 + 300x = 8100

Vậy đội công nhân đã hoàn thành công việc trong 6 ngày (hai giai đoạn, mỗi giai đoạn 3 ngày).

III. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải nhanh bài 1 trang 11 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải các phương trình:

a) (9x – 4)(2x + 5) = 0;             b) (1,3x + 0,26)(0,2x – 4) = 0;

c) 2x(x + 3) – 5(x + 3) = 0;        d)

Giải nhanh:

a) x =

b) x = hoặc

c) x =

d)

Giải nhanh bài 2 trang 11 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Giải các phương trình:

a);                   b)

c) ;            d)

Giải nhanh:

a) x = 3

b) x =

c) Vô nghiệm

d) x =  

Giải nhanh bài 3 trang 11 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Một ca nô đi xuôi dòng từ địa điểm A đi xuôi dòng từ đia điểm A đến địa điểm B, rồi lại đi ngược dòng từ địa điểm B trở về địa điểm A. Thời gian cả đi và về là 3 giờ. Tính tốc độ của dòng nước. Biết tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 27km/h và độ dài quãng đường AB là 40 km.

Giải nhanh:

Gọi x là tốc độ của dòng nước (km/h)  (

Theo bài ra, tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 27 km/h nên ta có”

Tốc độ của ca nô khi xuôi dòng là: x + 27

Tốc độ của ca nô khi ngược dòng là:

Ta biết: Quãng đường = vận tốc . thời gian 

Hay S = v.t 

Trong đó S là độ dài quãng đường

v là vận tốc

t là thời gian di chuyển

Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ điểm A đến điểm B là:

Thời gian ca nô đi ngược dòng từ điểm B đến điểm A là:

Mà

Giải phương trình:

Quy đồng khử mẫu với MTC: (x + 27)(27 – x) 

40(27 – x) + 40(x + 27) = 3(27 – x)(27 + x)

Vậy tốc độ của dòng nước là 3 km/h.

Giải nhanh bài 4 trang 11 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Một doanh nghiệp sử dụng than để sản xuất sản phẩm. Doanh nghiệp đó lập kế hoạch tài chính cho việc loại bỏ chất ô nhiễm trong khí thải theo dự kiến sau: Để loại bỏ p% chất ô nhiễm trong khí thải thì chi phí C (triệu đồng) được tính theo công thức: C (Nguồn: John W. Cell, Engieering Problems Illustrating Mathematics, MeGraw – Hill Book Company, Inc. New York and London, năm 1943). Với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được bao nhiêu phần trăm chất thải gây ô hiễm trong khí thải (làm tnf kết quả đến phần mười)? 

Giải nhanh:

Với chi phí sản xuất là 420 triệu đồng, tức C = 420 ta tay vào công thức tính chi phí được

=> p = 99,8

Vật doanh nghiệp đã loại bỏ được 99,8% chất gây ô nhiễm trong khí thải

Giải nhanh bài 5 trang 11 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Bạn Hoa dự định dùng hết số tiền 600 nghìn đồng để mua một số chiếc áo đồng giá tặng các bạn có hoàn cảnh khó khăn. Khi đến cửa hàng, loại áo mà Hoa dự định mua được giảm giá 30 nghìn đồng/ chiếc. Do vậy, bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định. Tính giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua.

Giải nhanh:

Gọi là x (nghìn đồng) là số tiền mà Hoa phải trả để mua một chiếc áo (x > 0)

Giá mỗi chiếc áo khi chưa giảm là x + 30 (nghìn đồng)

Số áo mua thực tế là

Bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với sô lượng dự định, nên ta có phương trình

x = 120 (nghìn đồng) Vậy giá tiền mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là 120 nghìn đồng.

Giải nhanh bài 6 trang 11 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 52m. Trên mảnh đất đó, người ta làm một vườn rau có dạng hình chữ hật với diên tích là 112 và một lối đi xung quanh vườn rộng 1 m (Hình 2). Tính các kích thước của mảnh đất đó.

Giải nhanh:

Nửa chu vi hình chữ nhật là 52 : 2 = 26 m

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m) (x  > 13)

Khi đó chiều động mảnh đất là 26 – x 

Chiều dài vườn ra là x – 2

Chiều rộng vườn rau là 26 – x – 2 = 24 – x 

Theo đề bài, diện tích vườn rau là 112 m² nên ta có phương trình: 

(x – 2)(24 – x) = 112

Vậy mảnh đất có chiều dài là 16 m và chiều rộng là 10 m.