BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VIII

Bài 23 (trang 92):

Cho tứ giác nội tiếp đường tròn , hai tia cắt nhau tại và . Khi đó số đo góc là:
A. .                   B. .                   C. .                           D. .

Bài giải chi tiết:

Đáp án B

Bài 24 (trang 92):

Cho hình bình hành . Đường tròn đi qua ba điểm cắt cạnh ở khác và . Tìm phát biểu sai:
A. .
B. Tứ giác là hình thang cân.
C. .
D. .

Bài giải chi tiết:

Đáp án D.

Bài 25 (trang 92):

Cho tam giác có và . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Bài giải chi tiết:

Gọi lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Do góc nên . Ta có và tam giác cân ở . Suy ra tam giác đều hay .

Bài 26 (trang 92):

Cho tứ giác có . Gọi lần lượt là trung điểm của , . Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.

Bài giải chi tiết:

Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Vì nên tam giác vuông tại . Do là đường trung bình của tam giác nên là đường trung bình của tam giác nên . Mặt khác . Suy ra . 

Chứng minh tương tự ta cũng có . Suy ra là hình chữ nhật.

Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường chéo và .

Bài 27 (trang 92);

Cho tam giác vuông tại có đường cao và . Tính bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác .

Bài giải chi tiết:

Đặt , suy ra (do ). 

Lại có tam giác vuông tại nên .

 Mặt khác nên suy ra . 

Mà nên ta có . 

Do đó, . Suy ra . 

Mặt khác, do suy ra và .

Bài 28 (trang 92):

Đường tròn tâm nội tiếp tam giác tiếp xúc vối lần lượt tại và . Kẻ vuông góc với . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh:
a) thẳng hàng;
b) thẳng hàng.

Bài giải chi tiết:

a) Gọi là trung điểm của . Do và là các tam giác vuông lần lượt tại và nên do đó tứ giác nội tiếp đường tròn.

Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn đường kính ). Lại có và . Suy ra . Vì vậy thẳng hàng.

b) Tam giác cân ở suy ra . Lại có lần lượt là trung điểm của nên (hai góc đồng vị). Suy ra . Vì vậy thẳng hàng.

Bài 29 (trang 92):

Cho tam giác nhọn. Ba đường cao . Chứng minh:
a) Các tứ giác là các tứ giác nội tiếp;
b) Trực tâm của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Bài giải chi tiết:

a) 

  - Vì AI và BK là các đường cao, nên chúng vuông góc với các cạnh BC và AC tương ứng. Do đó, ta có:

  - Ta xét hai góc AIB và AKB:

     - Vì AIB là góc ngoài của tam giác AKI, nên AKI là góc trong của tam giác đó, và tổng của chúng bằng 180 độ.

Như vậy, tứ giác AKIB là tứ giác nội tiếp.

  - Xét các đường cao BK và CL của tam giác ABC.

  - Vì BK và CL là các đường cao, nên chúng vuông góc với các cạnh AC và AB tương ứng. Do đó, ta có:

  - Ta xét hai góc BLC và BKC:

  - Vì BLC là góc ngoài của tam giác BLK, nên BLK là góc trong của tam giác đó, và tổng của chúng bằng 180 độ.

Như vậy, tứ giác BLKC là tứ giác nội tiếp.

b) Do tứ giác nội tiếp đường tròn nên hay .

Tương tự . Suy ra .

Từ đó ta có hay . 

Vì vậy là đường phân giác của góc . 

Tương tự cũng có là đường phân giác của góc . Vậy là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Bài 30 (trang 93):

Quan sát Hình 16.
Chứng minh .

Bài giải chi tiết:

Do các tứ giác , tứ giác , tứ giác đều nội tiếp đường tròn nên . Mà và là hai góc so le trong nên .

Bài 31 (trang 93):

Cho lục giác đều cạnh bằng .
a) Chứng minh sáu điểm cùng thuộc một đường tròn. Tính theo bán kính của đường tròn đó.
b) Chứng minh các tam giác là các tam giác đều. Tính theo bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng của các tam giác đó.

Bài giải chi tiết:

a) 

  - Giả sử tam giác ABC là tam giác nhọn với các đường cao AD, BE, CF giao nhau tại trực tâm H.

  - Các điểm D, E, F lần lượt là chân các đường cao từ các đỉnh A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB.

  Xét tứ giác AEHF:

  - Ta có   (vì BE và AF là các đường cao).

  - Vì hai góc đối diện của tứ giác AEHF cộng lại bằng 180, tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

  Tương tự, ta có thể chứng minh các tứ giác BDFC và CDFE là các tứ giác nội tiếp.

  Vì các tứ giác này có các cặp góc đối diện tổng cộng bằng 180, nên tất cả các điểm A, B, C, D, E, F nằm trên cùng một đường tròn.

  - Do các điểm A, B, C thuộc tam giác đều có cạnh a, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cũng sẽ đi qua các điểm D, E, F do chúng là các chân đường cao của tam giác ABC.

  - Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC được tính bằng công thức:

  Vì vậy, bán kính của đường tròn đi qua sáu điểm A, B, C, D, E, F là

b) 

  - Xét tam giác ACE, ta có:

  - Ta có các góc trong tam giác ACE lần lượt là . Do đó, tam giác ACE là tam giác đều.

  - Tương tự, xét tam giác BFD, ta có:

Ta có các góc trong tam giác BFD lần lượt là . Do đó, tam giác BFD là tam giác đều.

  Vậy bán kính của đường tròn nội tiếp tương ứng của các tam giác ACE và BFD là

Bài 32 (trang 93):

Cho đường tròn . Từ điểm nằm ngoài đường tròn , kẻ các tiếp tuyến và vối đường tròn đó là các tiếp điểm) sao cho .
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác .
b) Tính chu vi tam giác .
c) Vẽ đường thẳng đi qua cắt đường tròn tại hai điểm . Xác định vị trí của đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài giải chi tiết:

a) Ta có là các tiếp tuyến của đường tròn nên . Tam giác vuông tại nên hay . Gọi là giao điểm của với tia , ta có nên . Do đó, nên là trung điểm của .
Từ đó do các tam giác và lần lượt vuông tại và nên . Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (1). Hơn nữa ta còn có: hay , suy ra . 

Vì vậy tam giác là tam giác đều (2). Từ (1), (2) suy ra đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh có tâm là và bán kính là .
b) Do tam giác đều và do đó chu vi tam giác bằng .
c) Ta có (cùng bằng ) và nên . Suy ra . Do đó hay . Lại có (dấu "=" xảy ra khi ). Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng , khi đó hay đường thẳng đi qua và hoặc đi qua và .

Bài 33* (trang 93):
Cho đường tròn cố định. Một tam giác thay đổi, có chu vi bằng và luôn ngoại tiếp đường tròn . Một tiếp tuyến song song với cắt các cạnh lần lượt tại và . Tìm độ dài để có độ dài lớn nhất.

Bài giải chi tiết:

Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại và .

Ta có nên .
Suy ra:

Lại có (với và chu vi Chu vi . Mà chu vi .

Suy ra: . Từ đó .
Do đó, có độ dài lốn nhất bằng khi hay