BÀI 3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. CÔNG THỨC CỘNG

KP1 trang 21 sgk toán 11 CTST

Quan sát Hình 1 Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ sau đây: 

= = cos(α−β)

x_Mx_N + y_M.y_N

Hãy suy ra công thức tính cos(α−β) theo các giá trị lượng giác của α và β. Từ đó, hãy suy ra công thức cos(α+β) bằng cách thay β bằng -β

Giải nhanh:

TH1 trang 21 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Tính và tan

Giải nhanh:

;

2. CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI

KP2 trang 21 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β=α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α

Giải nhanh:

TH2 trang 22 Toán 11 tập 1 CTST

Tính và tan

Giải nhanh:

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

KP3 trang 22 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

a)

b)

Giải nhanh:

a)

b)

TH3 trang 22 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Tính giá trị của biểu thức

Giải nhanh:

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

KP4 trang 22 sgk toán 11 tập 1 CTST

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác a = và b= , ta được các đẳng thức nào?

Giải nhanh:

TH4 trang 23 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Tính

Giải nhanh:

VD trang 23 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27cm. Tính sinα và cosα, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Giải nhanh:

Đặt . Ta có .

Vì nên , suy ra .

Khoảng cách từ đến là

5. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 23 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a)

b) – 555°

Giải nhanh:

a)

b)

Bài tập 2 trang 23 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Tính biết sin và

Giải nhanh:

Vì nên

Bài tập 3 trang 24 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

a) và

b) và

Giải nhanh:

a) Vì nên , suy ra 

.

.

b) Ta có suy ra nên

Do đó

Bài tập 4 trang 24 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Rút gọn các biểu thức sau:

a)

b)

Giải nhanh:

a)

b)

Bài tập 5 trang 24 sgk toán 11 tập 1 CTST

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) và

b) = và

Giải nhanh:

a) . Do đó .

Vì nên . Do đó .

Vì nên . Do đó .

.

b) Vì nên . Do đó .

.

Vì nên . Do đó .

Vì nên . Do đó .

.

Bài tập 6 trang 24 sgk toán 11 tập 1 CTST

Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có sinA = sinB.cosC + sinC.cosB.

Giải nhanh:

=> 

Bài tập 7 trang 24 sgk toán 11 tập 1 CTST

Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB=4 , BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn =30°. Tính tan , từ đó tính độ dài cạnh CD.

Giải nhanh:

Đặt . Vì tam giác vuông tại nên tan .

Suy ra

Ta có

Vậy

Bài tập 8 trang 24 sgk toán 11 tập 1 CTST

Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho α là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít – tông khi α = π/2 và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.

a) Biết IA = 8cm, viết công thức tính tọa độ xM của điểm M trên trục Ox theo α.

b) Ban đầu α = 0. Sau 1 phút chuyển động, xM = – 3cm. Xác định xM sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Giải nhanh:

a) Vì độ dài xem như không đổi và khi thì , nên ta xem như luôn bằng .

Do đó , hay toạ độ của trên trục bằng tọa độ của trên trục .

=>

b) Giả sử sau 1 phút chuyển động, quay được một góc thì sau 2 phút chuyển động, quay được một góc .

Ta có sau 1 phút chuyển động thì

=>

Do đó sau 2 phút chuyển động thì:

Bài tập 9 trang 24 sgk toán 11 tập 1 CTST

Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là và số đo góc (OA, OM) là α.

a) Tính sinα và cosα.

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP) từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Giải nhanh:

a) Trong hệ trục tọa độ như hình, ta có điểm nằm ở góc phần tư thứ IV.

Do đó .

b)

Khoảng cách từ đến mặt đất là .

Khoảng cách từ đến mặt đất là: