BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

KP1 trang 64 sgk toán 11 CTST

Cho dãy số với

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với n như thế nào thì |u_n| bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?

Giải nhanh:

a)

b)

Ta có:

•   khi

• khi .

c) Khoảng cách từ đến 0 càng bé khi n càng lớn

TH1 trang 65 sgk toán 11 CTST 

Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a)  

b)

KP2 trang 65 sgk toán 11 CTST 

Cho dãy số với

a) Cho dãy số (v_n) với v_n = u_n – 2. Tìm giới hạn lim v_n.

b) Biểu diễn các điểm u₁, u₂, u₃, u₄ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm u_n khi n trở nên rất lớn?

Giải nhanh:

a)

b)

Nhận xét: Điểm càng dần đến điểm 2 khi n trở nên rất lớn.

TH2 trang 65 sgk toán 11 CTST 

Tìm các giới hạn sau:

a)

b)

Giải nhanh:

a) =>

b) =>

2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

KP3 trang 66 sgk toán 11 CTST 

Ở trên ta đã biết = 1

a) Tìm các giới hạn lim 3 và

b) Từ đó, nêu nhận xét về

Giải nhanh:

a)

b)

TH3 trang 66 sgk toán 11 CTST 

Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a) ;

b)

.

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

KP4 trang 67 sgk toán 11 CTST 

Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

b) Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

c) Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Giải nhanh:

a) ,

b)

c) . 

=> Giới hạn này bằng diện tích của hình vuông ban đầu.

TH4 trang 68 sgk toán 11 CTST 

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Giải nhanh:

Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu và công bội

VD1 trang 68 sgk toán 11 CTST 

Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn.

Giải nhanh:

S

S

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC

KP5 trang 68 sgk toán 11 CTST 

Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu u_n (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

Giải nhanh:

a)

;

.

b) . Vậy với những số tự nhiên thì

5. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 69 sgk toán 11 CTST

Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a) ;

b)

c) ;

d)

Bài tập 2 trang 69 sgk toán 11 CTST 

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

Giải nhanh:

a)

b)

Bài tập 3 trang 69 sgk toán 11 CTST 

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444... dưới dạng một phân số

Giải nhanh:

Bài tập 4 trang 70 sgk toán 11 CTST

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu an là diện tích của hình vuông thứ n và S_n là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a_n, S_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limS_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu pn là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính p_n và Q_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm lim Q_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Giải nhanh:

a) Nếu hình vuông thứ có độ dài cạnh bằng thì hình vuông thứ có độ dài cạnh bằng . Từ đó, dãy hình vuông lần lượt có độ dài cạnh là: . 

Gọi là độ dài cạnh của hình vuông thứ .

Ta có

Diện tích của hình vuông thứ là  

b) Chu vi của hình vuông thứ là ,... 

Bài tập 5 trang 70 sgk toán 11 CTST 

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

a) Bắt đầu một hình vuông H­0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H0 thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H1 (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H1 thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₂ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình H_n(n = 1, 2, 3, ...).

Ta có: H₁ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng

H2 có 5.5 = 52 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng . =

Từ đó, nhận được H_n có 5ⁿ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng

a) Tính diện tích S_n của H_n và tính lim S_n

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S_n và chu vi limp_n)

Giải nhanh:

a)  

b)

Do và với mọi n 

=>