BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 

1. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

KP1 trang 107 sgk toán 11 CTST

Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN không đồng phẳng. Tìm số giao điểm của mặt phẳng (ABCD) lần lượt với các đường thẳng MN, MA và AC.

Giải nhanh:

Số giao điểm của mặt phẳng (ABCD) với:

• MN: 0

• MA: 1

• AC: vô số giao điểm

TH1 trang 108 sgk toán 11 CTST 

Cho E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC của tứ diện ABCD. Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng BC, AD và EF với mặt phẳng (BCD).

Giải nhanh:

2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG

KP2 trang 108 sgk toán 11 CTST 

Cho đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nằm trong (P). Đặt (Q) = mp(a, b).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

b) Giả sử a có điểm chung M với (P) thì điểm M phải nằm trên đường thẳng nào? Điều này có trái với giả thiết a//b hay không?

Giải nhanh:

a) Giao tuyến của (P) và (Q) là b

b) Điểm M phải nằm trên đường thẳng b (Do hai mặt phẳng chỉ giao nhau tại 1 giao tuyến)

Điều này trái với giả thiết a//b

TH2 trang 109 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABC có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tìm các đường thẳng lần lượt nằm trong, cắt, song song với mặt phẳng (ABC).

Giải nhanh:

SA, SB, SC cắt mặt phẳng (ABC)

AB, BC, CA nằm trong mặt phẳng (ABC)

A'B', B'C', C'A' song song với mặt phẳng (ABC)

VD1 trang 109 sgk toán 11 CTST 

Hãy chỉ ra trong Hình 9 các đường thẳng lần lượt nằm trong, song song, cắt mặt phẳng sàn nhà.

Giải nhanh:

a nằm trong (P), c // (P); (b) cắt (P)

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

KP3 trang 109 sgk toán 11 CTST 

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b (Hình 10). Trong (Q), hai đường thẳng a, b có bao nhiêu điểm chung?

Giải nhanh:

a và b không có điểm chung

KP4 trang 110 sgk toán 11 CTST 

Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Lấy một điểm M trên a, vẽ đường thẳng b’ đi qua M và song song với b. Đặt (P) là mặt phẳng đi qua a, b’.

a) Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa b và (P).

b) Gọi (P’) là mặt phẳng chứa a và song song với b. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa b’ và (P’); (P) và (P’)?

Giải nhanh:

a)

b)

(P) và (P') trùng nhau

TH3 trang 111 sgk toán 11 CTST

Cho hình chóp S.ABC có ABCD là hình bình hành và M, N, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, SA (Hình 17). Chứng minh rằng:

a) MN song song với hai mặt phẳng (SBC) và (SAD);

b) SB và SC song song với mặt phẳng (MNE).

Giải nhanh:

a) Ta có hình bình hành ABCD có: 

M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

=> MN//BC//AD

Do nên

Do nên

b) Trong tam giác SAB có M, E lần lượt là trung điểm của AB và SA nên ME//SB

Mà nên

Gọi O là giao của AC, BD và MN

Do ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC

Trong tam giác SAC có O, E lần lượt là trung điểm của AC và SA nên OE//SC

Mà nên

VD2 trang 111 sgk toán 11 CTST 

Làm thế nào để đặt cây thước kẻ a để nó song song với các trang của một cuốn sách?

Giải nhanh:

Đặt mép thước kẻ a // đường thẳng gáy sách

4. BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 111 sgk toán 11 CTST

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Chứng minh đường thẳng OM song song với hai mặt phẳng (SAD) và (SBD).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMD) và (SAD).

Giải nhanh:

a) là đường trung bình của tam giác => . 

Ta có: không nằm trong mặt phẳng và // nằm trong => .

cmtt, .

b) Ta có: 

là điểm chung của hai mặt phẳng và . 

chứa và

=> Giao tuyến của với (SAD) là đường thẳng đi qua điểm và

Bài tập 2 trang 112 sgk toán 11 CTST 

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùn một mặt phẳng. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF.

a) Chứng minh đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (CDEF), (ADF) và (BCE).

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và BE. Chứng minh MN // (CDFE).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD)

Giải nhanh:

a) Ta có: và và

=> và

=> là hình bình hành

=> .

Ta có là đường trung bình của tam giác

=>  . 

Như vậy song song với các mặt phẳng và .

b) Trong hình bình hành ABEF có M, N lần lượt là trung điểm của AE và BF nên

=>

c) Ta có: và là điểm chung của hai mặt phẳng và , => Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và

Bài tập 3 trang 112 sgk toán 11 CTST

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm (M) di động trên cạnh (AD). Một mặt phẳng qua (M), song song với CD và SA, cắt BC,SC,SD lần lượt tại N,P,Q.

1. MNPQ là hình gì?

2. Gọi I = MQ NP. Chứng minh rằng I luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên AD.

Giải nhanh:

a) Ta có

Lại có: =>

Vậy là hình thang.

b) Ta có: và là điểm chung của hai mặt phẳng và

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng cố định đi qua và . 

Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và

=> luôn thuộc đường thẳng cố định

Bài tập 4 trang 112 sgk toán 11 CTST

Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) với các cạnh AC, CD và DB.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?

Giải nhanh:

a) Ta có: ;

. Ta lại có

=>

cmtt, ta có

Vậy tứ giác là hình bình hành.

b) là hình thoi khi và là trung điểm của

Bài tập 5 trang 112 sgk toán 11 CTST

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD, (P) là mặt phẳng qua M song song với SA và BC. Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD.

Giải nhanh:

Qua kẻ ; qua kẻ ; qua vẽ ; nối với . 

Ta được các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là

Bài tập 6 trang 112 sgk toán 11 CTST 

 Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng a, b, c, d, e với mặt phẳng (P) là mặt trước của tòa nhà (Hình 19).

Giải nhanh:

//

cắt mặt phẳng

nằm trong mặt phẳng