BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

KP1 trang 71 sgk toán 11 CTST

Xét hàm số y= f(x) =

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi x càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, M là điểm trên đồ thị hàm số y = f(x); H và P lần lượt là hình chiếu của M trên trục hoành và trục tung. Khi điểm H thay đổi gần về điểm (1; 0) trên trục hoành thì điểm P thay đổi như thế nào?

Giải nhanh:

a) Khi càng tiến gần đến 1 thì giá trị của hàm số càng gần đến 4 

b) Điểm càng gần đến điểm trên trục tung khi điểm càng gần về điểm trên trục hoành

TH1 trang 72 sgk toán 11 CTST 

Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a) Giả sử là dãy số bất kì, thoả mãn với mọi và . Ta có

Như vậy

b) Giả sử là dãy số bất kì, thoả mãn với mọi và khi . Ta có

Như vậy

2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ

KP2 trang 72 sgk toán 11 CTST

Cho hai hàm số  y = f(x) = 2x và y = g(x) =

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞. Tìm giới hạn lim[f(x_n) + g(x_n)]

b) Từ đó, tìm giới hạn , và so sánh với

Giải nhanh:

a)

.

b) Vì  

nên .

Do đó .

Từ (1) và (2) =>

TH2 trang 73 toán 11 CTST

Tìm các giới hạn sau:

a)

b)

Giải nhanh:

a)

b)

3. GIỚI HẠN MỘT PHÍA

KP3 trang 73 sgk toán 11 CTST 

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giá cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử (xn) là dãy số bất kì sao cho xn ∈ (1; 2,5) và lim xn = 1. Tìm lim f(xn).

b) Giả sử là dãy số bất kì sao cho và . Tìm c) Nhận xét về kết quả ở a) và b).

Giải nhanh:

a)

b)

c)

TH3 trang 73 sgk toán 11 CTST

Cho hàm số

Tìm các giới hạn , và (nếu có).

Giải nhanh:

Với nên 

.

Với nên

 .

Do nên

4. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

KP4 trang 75 sgk toán 11 CTST 

Cho hàm số = có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới +∞)?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới – ∞)?

Giải nhanh:

a) 

=> Giá trị của dần về 0 khi dần tới

b) 

=> Giá trị của dần về 0 khi dần tới

TH4 trang 76 sgk toán 11 CTST 

Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a)

b)

VD1 trang 76 sgk toán 11 CTST 

Một cái hồ đang chứa 200m³ nước mặn với nồng độ muối 10kg/m³. Người ta ngọt hóa nước hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 2m³/phút.

a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.

b) Tìm giới hạn và giải thích ý nghĩa.

Giải nhanh:

a) Khối lượng muối có trong hồ là:

Sau phút, lượng nước trong hồ là

Nồng độ muối tại thời điểm phút kể từ khi bơm là

b)

Khi càng lớn thì nồng độ muối càng dần về 0, tức đến một lúc nào đó nồng độ muối trong hồ không còn đáng kể và nước trong hồ gần như là nước ngọt.

5. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

KP5 trang 77 sgk toán 11 CTST

Cho hàm số f(x) = có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên trái?

Giải nhanh:

a) 

Nhận xét: Giá trị của trở nên rất lớn khi dần tới 1 phía bên phải.

b) 

Nhận xét: Giá trị của trở nên rất bé (giá trị của trở nên rất lớn) khi dần tới 1 phía bên trái.

TH5 trang 78 sgk toán 11 CTST 

Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a)
b)

VD2 trang 78 sgk toán 11 CTST 

Xét tình huống ở hoạt động khởi động đầu bài học. Gọi x là hoành độ điểm H. Tính diện tích S(x) của hình chữ nhật OHMK theo x. Diện tích này thay đổi như thế nào khi x → 0+ và khi x → +∞.

Giải nhanh:

Ta có

6. BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 79 sgk toán 11 CTST 

Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a) 22 
b)
c)

Bài tập 2 trang 79 sgk toán 11 CTST

Cho hàm số

Tìm các giới hạn sau: ; ; (nếu có).

Giải nhanh:

Không tồn tại

Bài tập 3 trang 79 sgk toán 11 CTST

Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a)  
b)
c)

Bài tập 4 trang 79 sgk toán 11 CTST 

Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a)
b)
c)

Bài tập 5 trang 79 sgk toán 11 CTST

Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là (gam/lít)

b) Nồng độ muối như thế nào nếu t → +∞

Giải nhanh:

a) (gam/lít)

b) (gam/lít)

Bài tập 6 trang 79 sgk toán 11 CTST 

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức + = hay  d’ =

Xét hàm số g(d) = . Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

Giải nhanh:

a) .

Nghĩa là khi vật dần đến tiêu điểm vật từ phía xa kính đến gần kính hơn thì khoảng cách từ ảnh (thật) đến kính dần đến

b)

Nghĩa là khi khoảng cách từ vật đến kính dần đến thì ảnh dần đến tiêu điểm ảnh