BÀI 1. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

KP1 trang 88 sgk toán 11 CTST

Mặt bàn, mặt bảng cho ta hình ảnh của mặt phẳng. Hãy chỉ thêm các ví dụ khác về hình ảnh một phần của mặt phẳng.

Giải nhanh:

Mặt tivi, trang giấy, mặt gương,..

TH1 trang 89 sgk toán 11 CTST 

a) Vẽ hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật

b) Quan sát Hình 4a và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (P)

c) Quan sát Hình 4b và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (Q)

Giải nhanh:

a) 

b) Điểm thuộc mặt phẳng (P) là: A'; B'; C'; D'

Điểm không thuộc mặt phẳng (P) là: A; B; C; D

c) Điểm thuộc mặt phẳng (Q) là: A; C; D

Điểm không thuộc mặt phẳng (Q) là: B

2. CÁC TÍNH CHẤT ĐƯỢC THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

KP2 trang 89 sgk toán 11 CTST 

Quan sát Hình 5 và cho biết muốn gác một cây sào tập nhảy cao, người ta cần dựa nó vào mấy điểm trên hai cọc đỡ.

Giải nhanh:

Hai điểm trên hai cọc đỡ

TH2 trang 90 sgk toán 11 CTST

Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm đã cho.

Giải nhanh:

6 đường thẳng đi qua 2 trong 4 điểm

KP3 trang 90 sgk toán 11 CTST 

Quan sát Hình 7 và cho biết giá đỡ của máy ảnh tiếp đất tại mấy điểm. Tại sao giá đỡ máy ảnh thường có ba chân?

Giải nhanh:

Giá đỡ máy ảnh thường có ba chân vì khi đó giá đỡ tiếp đất tại 3 điểm. Mà 3 điểm thì sẽ xác định một mặt phẳng.

TH3 trang 90 sgk toán 11 CTST 

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác MNP?

Giải nhanh:

1 mặt phẳng

KP4 trang 90 sgk toán 11 CTST 

Quan sát Hình 10 và cho biết thợ mộc kiểm tra mặt bàn có phẳng hay không bằng một cây thước thẳng như thế nào?

Giải nhanh:

Người thợ mộc rê thước trên mặt bàn. Khi đó, nếu rê thước mà có 1 điểm thuộc cạnh thước nhưng không thuộc mặt bàn thì bàn đó chưa phẳng.

TH4 trang 91 sgk toán 11 CTST 

Cho mặt phẳng (Q) đi qua bốn đỉnh của tứ giác ABCD. Các điểm nằm trên đường chéo của tứ giác ABCD có thuộc mặt phẳng (Q) không? Giải thích.

Giải nhanh:

Mặt phẳng (Q) là mặt phẳng duy nhất đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Mọi điểm nằm trên đường chéo AC và BD đều thuộc mặt phẳng (Q)

KP5 trang 91 sgk toán 11 CTST 

Quan sát Hình 13 và cho biết bốn đỉnh A, B, C, D của cái bánh giò có cùng nằm trên một mặt phẳng hay không?

Giải nhanh:

Không cùng nằm trên một mặt phẳng

TH5 trang 91 sgk toán 11 CTST 

Cho tam giác MNP và cho điểm O không thuộc mặt phẳng chứa ba điểm M, N, P. Tìm các mặt phẳng phân biệt được xác định từ bốn điểm M, N, P, O.

Giải nhanh:

(OMN), (ONP), (OPM), (MNP)

KP6 trang 92 sgk toán 11 CTST 

Quan sát Hình 14 và mô tả phần giao nhau của hai bức tường.

Giải nhanh:

Phần giao nhau là một đường thẳng

TH6 trang 91 sgk toán 11 CTST 

A, B, C cùng thuộc một giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt nên thẳng hàng với nhau.

Giải nhanh:

Ta có, A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β).

=> A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)

=> A, B, C thẳng hàng

KP7 trang 92 sgk toán 11 CTST 

Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC (Hình 17). Tính tỉ số

Giải nhanh:

VD1 trang 93 sgk toán 11 tập 1 CTST: 

Tại sao muốn cánh cửa đóng mở được êm thì các điểm gắn bản lề A, B, C của cánh cửa và mặt tường (Hình 19) phải cùng nằm trên một đường thẳng?

Giải nhanh:

Nếu 3 điểm đều nằm trên cùng một đường thẳng thì đường thẳng đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng là mặt phẳng chứa cánh cửa và mặt phẳng chứa bức tường.

3. CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG

KP8 trang 94 sgk toán 11 CTST

Cho đường thẳng a và điểm A không nằm trên a. Trên a lấy hai điểm B, C. Đường thẳng a có nằm trong mặt phẳng (ABC) không? Giải thích.

Giải nhanh:

Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P). 

KP9 trang 95 sgk toán 11 CTST

Hai đường thẳng phân biệt a và b cắt nhau tại điểm O. Trên a, b lấy lần lượt hai điểm M, N khác O. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, O (Hình 25). Mặt phẳng (P) có chứa cả hai đường thẳng a và b không? Giải thích.

Giải nhanh:

Đường thẳng a và b nằm trong mặt phẳng (P) vì:

+ (P) đi qua hai điểm N, O nên (P) chứa đường thẳng a.

+ (P) đi qua hai điểm M, O nên (P) chứa đường thẳng b.

TH7 trang 95 sgk toán 11 CTST 

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và điểm M không thuộc mặt phẳng (a, b).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b).

b) Lấy A, B lần lượt là hai điểm trên a, b và khác với điểm O. Tìm giao tuyến của (MAB) và mp(a, b).

c) Lấy điểm A’ trên đoạn MA và điểm B’ trên đoạn MB sao cho đường thẳng A’B’ cắt mp(a, b) tại C. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Giải nhanh:

a) Ta có: và

Như vậy MO là giao tuyến cần tìm

b)

Như vậy AB là giao tuyến cần tìm

c) Giao tuyến của mặt phẳng (MAB) và mp(a,b) là AB

Mà C là giao của A’B’ với (a,b) nên C cũng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (a,b).

=> A, B, C thẳng hàng

VD2 trang 95 sgk toán 11 CTST 

Giải thích tại sao ghế bốn chân có thể bị khập khiễng còn ghế ba chân thì không.

Giải nhanh:

 Vì qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng. Bốn điểm thì có thể không cùng nằm trên một mặt phẳng

VD3 trang 95 sgk toán 11 CTST 

Trong xây dựng, người ta thường dùng máy quét tia laser để kẻ các đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà. Tìm giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi các tia laser OA và OB của các mặt tường trong Hình 29.

Giải nhanh:

AC và BC

4. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

KP10 trang 96 sgk toán 11 CTST 

a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình gì?

b) Tìm điểm giống nhau của các hình trong Hình 31.

Giải nhanh:

a) Hình tam giác

b) Các mặt bên đều là tam giác và có chung đỉnh

KP11 trang 97 sgk toán 11 CTST 

Trong Hình 34, hình chóp nào có số mặt ít nhất?

Giải nhanh:

Hình 34a

TH8 trang 98 sgk toán 11 CTST

Cho tứ diện SABC. Gọi H, K lần lượt là hai điểm trên hai cạnh SA và SC (H ≠ S, A; K ≠ S, C) sao cho HK không song song với AC. Gọi I là trung điểm của BC (Hình 38).

a) Tìm giao điểm của đường thẳng HK và mặt phẳng (ABC).

b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAI) và (ABK); (SAI) và (BCH).

Giải nhanh:

a) Giao điểm của đường thẳng HK và mặt phẳng (SAC) là E.

b) Ta có: BK cắt SI tại M. A và M là điểm chung của hai mặt phẳng (SAI) và (ABK) => Giao tuyến của (SAI) và (ABK) là AM.

Ta có: H và I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAI) và (BCH) => Giao tuyến của (SAI) và (BCH) là HI.

VD4 trang 98 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh bên của hình chóp lấy lần lượt các điểm A’, B’, C’, D’. Cho biết AC cắt BD tại O, A’C’ cắt B’D’ tại O’, AB cắt CD tại E và A’B’ cắt D’C’ tại E’ (Hình 39). Chứng minh rằng:

Giải nhanh:

a)Ta có: 

S và O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) 

=> Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO

Ta có:

 S và O' là điểm chung của hai mặt phẳng (SA'C') và (SB'D')

=> Giao tuyến của (SA'C') và (SB'D') là SO'

Mà nên

Hay S, O, O' thẳng hàng

b) Ta có: 

S và E là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

=> Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là SE

Ta có: 

S và E' là điểm chung của hai mặt phẳng (SA'B') và (SC'D') 

=> Giao tuyến của (SA'B') và (SC'D') là SE'

Mà nên S

Hay S, E, E' thẳng hàng

VD5 trang 98 sgk toán 11 CTST 

Nêu cách tạo lập tứ diện đều SABC từ tam giác đều SS’S’’ theo gợi ý ở Hình 40.

Giải nhanh:

Gấp theo các cạnh AB, BC, CA để ba điểm S, S’, S’’ trùng nhau

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 99 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC.

a) Chứng minh đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC).

b) Chứng minh O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Giải nhanh:

a) Ta có: => (1)
=> (2)
Từ (1) và (2), suy ra nằm trong mặt phẳng .
b) Điểm thuộc và , suy ra là điểm chung của hai mặt phẳng và

Bài tập 2 trang 99 sgk toán 11 CTST: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA = 2IM.

b) Tìm giao điểm E của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM).

c) Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).

Giải nhanh:

a) Gọi là giao điểm của và
Trong , hai trung tuyến và cắt nhau tại trọng tâm  

Do nên và do là trọng tâm của nên
b) Trong mặt phẳng , vẽ giao điểm của và . Do nên
c) Trong mặt phẳng , vẽ giao điểm của và . Do nên

Bài tập 3 trang 99 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD; P thuộc đoạn SC và không là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm E của đường thẳng SO và mặt phẳng (MNP).

b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng SA và mặt phẳng (MNP).

c) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Giải nhanh:

a) Trong mặt phẳng (SBD), vẽ giao điểm của và
Do nên
b) Trong mặt phẳng , vẽ giao điểm của và
Do nên
c) là ba điểm chung của và suy ra thẳng hàng

Bài tập 4 trang 99 sgk toán 11 CTST

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I (I ≠ C), EG cắt AD tại H (H ≠ D).

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (EFG) và (BCD), (EFG) và (ACD).

b) Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.

Giải nhanh:

a) .
b) Trong mặt phẳng , vẽ giao điểm của và . 

Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng và phải đi qua . 

Như vậy cùng đi qua một điểm

Bài tập 5 trang 99 sgk toán 11 CTST 

Thước laser phát tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng (Hình 41). Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.

Giải nhanh:

Giao tuyến của mặt phẳng ánh sáng với mặt tường hoặc mặt sàn là một đường thẳng