BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

KP1 trang 80 sgk toán 11 CTST

Cho hàm số có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm x₀ = 1 và x₀ = 2, có tồn tại giới hạn không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x0) không?

Giải nhanh:

=> Không tồn tại giới hạn

=> Tồn tại giới hạn
Mặt khác, nên

TH1 trang 81 sgk toán 11 CTST

Xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x) = 1 – x2 tại điểm = 3;

b) tại điểm = 1.

Giải nhanh:

a)  

Vậy hàm số liên tục tại
b)

=> Không tồn tại giới hạn

Vậy hàm số không liên tục tại

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN

KP2 trang 81 sgk toán 11 CTST

Cho hàm số

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm x0 ∈ (1; 2).

b) Tìm và so sánh giá trị này với f(2).

c) Với giá trị nào của k thì =k?

Giải nhanh:

a) Với mọi , ta có: 

Như vậy hàm số liên tục tại mọi điểm
b)
c)  

Như vậy để , ta phải có

TH2 trang 82 sgk toán 11 CTST 

Xét tính liên tục của hàm số y= trên [1; 2]

Giải nhanh:

Với mọi , ta có:

Do đó, hàm số liên tục tại mọi điểm .
Ta lại có:

Tương tự,

Từ đó, hàm số liên tục trên [1:2]

VD1 trang 82 sgk toán 11 CTST

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của x (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:

(k là một hằng số).

a) Với k = 0, xét tính liên tục của hàm số P(x) trên (0; +∞).

b) Với giá trị nào của k thì hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞)?

Giải nhanh:

a) Với tại mọi .

Do , nên không liên tục tại .
b) Ta cần tìm để hàm số liên tục tại .

Để liên tục tại , ta phải có =>

3. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ SƠ CẤP

KP3 trang 82 sgk toán 11 CTST 

Cho hai hàm số và  

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.

b) Mỗi hàm số liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.

Giải nhanh:

a) Hàm số có tập xác định là ;
Hàm số có tập xác định là .
b) +) Với , ta có 

.
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm . 

=> Hàm số liên tục trên các khoảng và .
+) Tương tự, chỉ ra được hàm số liên tục trên khoảng

Vì với , ta có: 

TH3 trang 83 sgk toán 11 CTST 

Xét tính liên tục của hàm số

Giải nhanh:

Hàm số liên tục trên các khoảng và
TH4 trang 83 sgk toán 11 CTST

Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ

Giải nhanh:

Do hàm số  là hàm phân thức xác định khi nên liên tục tại mọi điểm

Ta có . Từ đó

VD2 trang 83 sgk toán 11 CTST 

Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

Xét tính liên tục của hàm số T(x).

Giải nhanh:

+) Hàm số liên tục trên các khoảng và

+) Xét hàm số liên tục tại x = 0,7
;

Ta thấy . 

Do đó, hàm số liên tục tại

+) Xét hàm số liên tục tại x = 20

Ta thấy . 

Do đó, hàm số liên tục tại
Như vậy hàm số liên tục trên

4. TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

KP4 trang 83 sgk toán 11 CTST 

Cho hai hàm số y=f(x)= và g(x) = . Hàm số y = f(x) + g(x) có liên tục tại x = 2 không? Giải thích.

Giải nhanh:

.
=> Hàm số liên tục tại điểm

TH5 trang 84 sgk toán 11 CTST 

Xét tính liên tục của hàm số:

1. +

2. . cos x

Giải nhanh:

a) Hàm số và liên tục trên nên hàm số đã cho liên tục trên
b) . Hàm số liên tục tại mọi điểm và hàm số liên tục trên nên hàm số đã cho liên ṭ̣c tại mọi điểm (hay liên tục trên các khoảng và

VD3 trang 84 sgk toán 11 CTST 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ x (– 1 < x < 1) và cắt đường tròn (C) tại các điểm N và P (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức S(x) biểu thị diện tích của tam giác ONP.

b) Hàm số y = S(x) có liên tục trên (– 1; 1) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn và

Giải nhanh:

a) với .
b) Hàm số liên tục trên (-1;1)

c)

5. BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài tập 1 trang 84 sgk toán 11 CTST 

Xét tính liên tục của hàm số sau:

1. f(x) = tại điểm x = 0;

2. f(x) = tại điểm x = 1.

Giải nhanh:

a)

=>

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại x = 0

b)

=> Không tồn tại
Vây hàm số không liên tục tại

Bài tập 2 trang 84 sgk toán 11 CTST 

Cho hàm số f(x) = Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Giải nhanh:

Hàm số liên tục tại mọi điểm .
. 

Để hàm số liên tục tại , ta phải có hay

Bài tập 3 trang 85 sgk toán 11 CTST

Xét tính liên tục của hàm số sau:

1. f(x) =

2. g(x) =

3. h(x) = cosx + tanx.

Giải nhanh:

a) và
b)
c) Mọi điểm với

Bài tập 4 trang 85 sgk toán 11 CTST 

Cho hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = . Xét tính liên tục của hàm số y = f(x).g(x) và y =

Giải nhanh:

Hàm số liên tục trên

Bài tập 5 trang 85 sgk toán 11 CTST

Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

C(x) =

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Giải nhanh:

Hàm số gián đoạn tại các điểm và liên tục tại các điểm còn lại của khoảng

Bài tập 6 trang 85 sgk toán 11 CTST 

Lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là F(r) = trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên (0; +∞) không?

Giải nhanh:

Hàm số liên tục trên các khoảng và

Vậy => Hàm số liên tục tại
Do đó hàm số liên tục trên