BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN

1. CẤP SỐ NHÂN

KP1 trang 57 sgk toán 11 CTST

a) Tìm thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy: 2; 4; 8; 16; 32; 64

b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

i) 3; 6; 12; 24; 48

ii) 1; ; ; ;

iii) 2; -6; 18; -54; 163; -486

Giải nhanh:

a) 2

b) Trong mỗi dãy số, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng liền trước với một số không đổi

TH1 trang 58 sgk toán 11 CTST 

Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số 2^m, 2ⁿ, 2^p theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Giải nhanh:

theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là

VD1 trang 58 sgk toán 11 CTST

Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%. Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.

Giải nhanh:

.....

Vậy dân số các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là

VD2 trang 58 sgk toán 11 CTST 

Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz (theo https:..vi.wikipedia.org/wiki/Đô­­_(nốt nhạc)). Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).

Giải nhanh:

Do tần số của ba phím  Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là:

Ta có: và Nên

=>

Vậy tần số của phím La là 440 Hz.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ NHÂN

KP2 trang 59 sgk toán 11 CTST 

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q. Tính u₂, u₃, u₄ và u₁₀ theo u₁ và q.

Giải nhanh:

TH2 trang 59 sgk toán 11 CTST

Viết công thức số hạng tổng quát un theo số hạng đầu u_n và công bội q của các cấp số nhân sau:

a) 5; 10; 20; 40; 80; …

b) 1; ; ; ; ;...

Giải nhanh:

a)

b)

VD3 trang 59 sgk toán 11 CTST 

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa (theo https://vi.wikipedia.org/wiki/Poloni-210 ). Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau:

a) 690 ngày;

b) 7 314 ngày (khoảng 20 năm).

Giải nhanh:

a) Sau 690 = 138.5 ngày, tức là sau 5 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là:

b) Sau 7314 = 138.53 ngày, tức là sau 53 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là:

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN

KP3 trang 59 sgk toán 11 CTST 

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q. Đặt S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n.

a) So sánh q.S_n và (u₂ + u₃ + ... + u_n) + q.u_n;

b) So sánh u₁ + q.S_n và S_n + u₁.q_n.

Giải nhanh:

a)

b)  

TH3 trang 60 sgk toán 11 CTST 

Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) trong các trường hợp sau:

a) u₁ = 10⁵; q = 0,1; n = 5;

b) u₁ = 10; u2 = – 20; n = 5.

Giải nhanh:

a)

=

b)

VD4 trang 60 sgk toán 11 CTST 

Trong bài toán ở hoạt động khởi động đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên.

Giải nhanh:

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 60 sgk toán 11 CTST

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân:

a) u_n = 3.(– 2)ⁿ;

b) u_n = (– 1)ⁿ.7ⁿ;

c)

Giải nhanh:

a) là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
b) là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
c) Vì nên không phải là cấp số nhân.

Bài tập 2 trang 60 sgk toán 11 CTST 

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết:

Giải nhanh:

a)

b)

Bài tập 3 trang 60 sgk toán 11 CTST

a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

b) Viết sáu số xen giữa các số – 2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Giải nhanh:

a) Gọi số đo bốn góc của tứ giác lập thành cấp số nhân là . Ta có:

Vậy số đo bốn góc của tứ giác là
b) . Vậy sáu số cần tìm là: . 

Số hạng thứ 15 là: -32768 

Bài tập 4 trang 60 sgk toán 11 CTST 

Ba số theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Giải nhanh:

Ta có: lập thành cấp số cộng, suy ra:

Như vậy lập thành cấp số nhân

Bài tập 5 trang 60 sgk toán 11 CTST

Tính các tổng sau:

a) ;
b) .

Giải nhanh:

a)
b)

Bài tập 6 trang 60 sgk toán 11 CTST 

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Giải nhanh:

Bài tập 7 trang 61 sgk toán 11 CTST

Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%.

a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?

Giải nhanh:

a)  = (triệu người).
b) Khi

Bài tập 8 trang 61 sgk toán 11 CTST 

Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m.

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu

Giải nhanh:

a)
b)