BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài tập 9 trang 128 sgk toán 11 CTST

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ và O là một điểm thuộc miền trong của mặt bên CC’D’D. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (OMN) với các mặt của hình hộp.

Giải nhanh:

Qua vẽ đường thẳng và cắt tại , cắt tại .

Ta được các giao tuyến là .

Bài tập 10 trang 128 sgk toán 11 CTST

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều. M là điểm trên cạnh AB, (α) mặt phẳng qua m và (α) ll (SAD) cắt CD, SC, SB lần lượt N, P, Q.

1. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân

2. Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a và x.

Giải nhanh:

a) Ta có cắt hai mặt phẳng song song và theo hai giao tuyến song song và . Tương tự, ta cũng có .

Ta có: => Giao tuyến của và là thoả mãn . 

Gọi là giao tuyến của và ta có đi qua và . là giao diểm của và , ta có thuộc

Tứ giác là hình bình hành, suy ra . Tương tự ta có

Tam giác là tam giác đều có cạnh bằng , suy ra là hình thang cân.

b) Ta có . Suy ra .

Ta có và là hai tam giác đều có cạnh là và

Bài tập 11 trang 128 sgk toán 11 CTST 

Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng chéo nhau a,b cắt (α) tại A và B. Gọi d là đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với (α) và cắt a tại M, cắt b tại N. Qua điểm N dựng đường thẳng song song với a cắt (α) tại điểm C.

a) Tứ giác MNCA là hình gì?

b) Chứng minh rằng điểm C luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

c) Xác định vị trí của đường thẳng d để độ dài MN nhỏ nhất.

Giải nhanh:

a) Ta có => Giao tuyến của và là thoả mãn => là hình bình hành

b) Gọi là giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng (P) đi qua và song song với . Ta có cố định => cố định. 

Ta lại có: => thuộc . Do là điểm chung của hai mặt phẳng và , suy ra di động trên

c) Ta có => ngắn nhất khi và chỉ khi ngắn nhất. Vậy

Bài tập 12 trang 128 sgk toán 11 CTST

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng hoàn toàn khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC và BF sao cho MC = 2MA; NF = 2NB. Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB, cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1. Chứng minh rằng:

a) MN // DE

b) M₁N₁ // (DEF)

c) (MNN₁M₁) // (DEF)

Giải nhanh:

a) Gọi là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành  

Ta có: là đường trung tuyến của tam giác và

=> là trọng tâm của tam giác . 

Tương tự, là trọng tâm của tam giác .

Gọi là trung điểm của thì lần lượt thuộc .

Xét tam giác có nên .

b) Ta có =>

Ta có: =>

c) Ta có:

=>