BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1: Thả một dây dọi AO chạm sàn nhà tại điểm O…

Giải nhanh:

a) vuông góc với ,

b) Dây dọi vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng sàn nhà.

Bài 2: Cho đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng 2 cắt nhau… 

Giải nhanh:

a) Tam giác và tam giác có là cạnh chung nên (c.c.c).

b) Tam giác cân tại , suy ra vuông góc với , suy ra .

Bài 3:

a) Trong không gian, cho điểm…

Giải nhanh:

a) vuông góc với

b) Ta có:

  vuông góc với

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông…

Giải nhanh:

a) Ta có và , suy ra (SAB). 

Ta có và , suy ra .

b) Ta có và , suy ra ( . 

Mặt khác, ta có , suy ra , suy ra .

Bài 5: Làm thể nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất? 

Giải nhanh:

Dựng cột chống vuông góc với hai đoạn thẳng cắt nhau nằm trên sàn nhà.

2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Nêu nhận xét về vị trí tương đối của…

Giải nhanh:

a) Hai thân cây song song

b) Mặt đất song song với mặt bàn

c) Thanh xà song song với mặt sàn nhà.

Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với...

Giải nhanh:

a) Ta có: ; , 

suy ra . 

b) và , suy ra .

Ta lại có , suy ra .

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông…

Giải nhanh:

a) Tam giác SAB có MN là đường trung bình nên MN//SA

Mà nên Suy ra

Hình thang ABCD có NP là đường trung bình nên NP//BC//AD. Mà nên

Ta có AB vuông góc với hai đường thẳng MN và NP cắt nhau cùng thuộc (MNPQ) nên

b) Vì nên

Tam giác SBC có MQ là đường trung bình nên MQ//BC. Mà SA⊥BC nên SA⊥MQ

Ta có MQ vuông góc với hai đường thẳng SA và AB cắt nhau cùng thuộc (SAB) nên MQ⊥(SAB).

Bài 4: Một kệ sách có bốn trụ chống và các ngăn làm bằng các tấm gỗ (Hình 18). Làm thể nào dùng một êke để kiểm tra xem các tấm gỗ có vuông góc với mỗi trụ chống và song song với nhau hay không? Giải thích cách làm.

Giải nhanh:

Dùng êke để kiểm tra tính vuông góc giữa trụ chống với hai đường cắt nhau trên tấm gỗ.

3. Phép chiếu vuông góc

Bài 1: Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm M trên trần nhà và đánh dấu điểm M′ nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng MM′ với mặt sàn? 

Giải nhanh:

Đường thẳng MM’ vuông góc với mặt sàn.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD)… 

Giải nhanh:

+) Vì nên

Ta có: nên

Vậy hình chiếu vuông góc của C lên (SAB) là điểm B

+) Ta có: nên

Vậy hình chiếu vuông góc của D lên (SAB) là điểm A

Suy ra hình chiếu vuông góc của CD lên (SAB) là AB; hình chiếu vuông góc của tam giác SCD lên (SAB) là tam giác SAB.

Bài 3: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P)… 

Giải nhanh:

a) đi qua hai điểm và ;

b) i) Ta có: (do

  vuông góc với ; 

ii) vuông góc với ;

c) i) Ta có: (do

  vuông góc với ; 

ii) vuông góc với .

Bài 4: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc…

Giải nhanh:

Vì nên Suy ra

nên AH là hình chiếu vuông góc của OA trên (ABC).

Lại có

Suy ra .

Bài 5: Nếu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng AB trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi.

Giải nhanh:

Buộc hai dây dọi vào hai đầu A, B của đoạn thẳng AB. Đánh dấu điểm A’ và B’ là chỗ hai quả dọi tiếp đất. Ta có A’B’ là hình chiếu của AB.

4. Bài tập

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD)…

Giải nhanh:

a) Ta có , suy ra (1)

Mặt khác, là hình thang vuông tại và , suy ra (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

b) Ta có và , suy ra là hình bình hành (3).

Từ (2) và (3) suy ra là hình chữ nhật, suy ra (4)

Ta cũng có , suy ra (5).

Từ (4) và (5) suy ra .

Bài 2: Cho hình vuông ABCD…

Giải nhanh:

a) Ta có , suy ra (1)

Ta có và , suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

b) Gợ là giao điểm của và .

Ta có (c.c.c), suy ra .

Mặt khác, trong có,

.

Vậy hay (3)

Mặt khác , suy ra (4)

Từ (3) và (4) suy ra (SDH).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông…

Giải nhanh:

a) Ta có , suy ra .

Gọi là trung điểm , ta có:

Vậy .

b) Ta có các tam giác và cân tại , suy ra và , suy ra .

Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác trên mặt phẳng là tam giác có diện tích bằng .

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a…

Giải nhanh:

Ta có là tam giác đều, suy .

Ta có là tam giác vuông cân tại , suy ra

Ta có là tam giác cân tại có , suy ra .

Gọi là trung điểm của , ta có:

vuông cân tại .

Ta có và , suy ra .

Bài 5: Một cái lều có dạng hình lăng trụ ABC.A′B′C′… 

Giải nhanh:

a) Ta có , suy ra , suy ra .

Ta có , suy ra .

b) Gọi là trung điểm , ta có và , suy ra .

Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác trên mặt phẳng là tam giác có diện tích bằng