BÀI 1. DÃY SỐ

1. DÃY SỐ LÀ GÌ?

KP1 trang 45 sgk toán 11 CTST

Cho hàm số:

u: N* → R

n ↦ u(n) = n²

Tính u(1), u(2), u(50), u(100).

Giải nhanh:

;

KP2 trang 46 sgk toán 11 CTST

Cho hàm số:

v: {1;2;3;4;5}  → R

n → v(n) = 2n.

Tính v(1), v(2), v(3), v(4), v(5).

Giải nhanh:

TH1 trang 46 sgk toán 11 CTST 

Cho dãy số:

u: N* → R

n →u_n = n³

a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.

b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Giải nhanh:

a) Dãy số trên là dãy số vô hạn

b)

VD1 trang 46 sgk toán 11 CTST 

Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính  1; 2; 3; 4; 5.

a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên.

Giải nhanh:

a)

b) Số hạng đầu là số hạng cuối là

2. CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

KP3 trang 46 sgk toán 11 CTST 

Cho các dãy số (an), (bn), (cn), (dn) được xác định như sau:

+) a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 2; a₄ = 3; a₅ = 4.

+) b_n = 2n.

+

+) d_n là chu vi của đường tròn có bán kính n.

Tính bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Giải nhanh:

TH2 trang 47 sgk toán 11 CTST 

Cho dãy số (un) xác định bởi:

a) Chứng minh u₂ = 2.3; u₃ = 2².3; u₄ = 2³.3.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (un).

Giải nhanh:

a)

b)

VD2 trang 47 sgk toán 11 CTST

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột dỗ (Hình 1). Gọi u_n là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số (u_n) bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n.

b) Viết hệ thức truy hồi.

Giải nhanh:

a)

b)

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

KP4 trang 48 sgk toán 11 CTST

Cho hai dãy số  (a_n) và (b_n) được xác định như sau: a_n = 3n + 1, b_n = – 5n.

a) So sánh a_n và a_n+1, ∀n ∈ ℕ*.

b) So sánh b_n và b_n+1, ∀n ∈ ℕ*.

Giải nhanh:

a)

b)

TH3 trang 48 sgk toán 11 CTST 

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (u_n) với

b) (x_n) với

c) (t_n) với (t_n) = (-1)ⁿ.n²

Giải nhanh:

a) Ta có:

=> là dãy số tăng

b) Ta nhận thấy các số hạng của dãy (xn) đều là số dương. Ta lập tỉ số hai số hạng liên tiếp của dãy:

,

=>

=> là dãy số giảm

c) Ta có: Suy ra

=> không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

VD3 trang 49 sgk toán 11 CTST 

Một chồng gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi u₁ = 25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, u_n là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi v_t = 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, v_n là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Giải nhanh:

a) Ta có:

Vậy dãy số (un) là dãy số giảm

b) Ta có:

Vậy dãy số (un) là dãy số tăng

4. DÃY SỐ BỊ CHẶN

KP5 trang 49 sgk toán 11 CTST 

Cho dãy số (u_n) với u_n = .  So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Giải nhanh:

TH4 trang 49 sgk toán 11 CTST

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

1. với =

2.  với =

Giải nhanh:

a)

=> . Vậy bị chặn.

b)

=> 0. Vậy bị chặn

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 50 sgk toán 11 CTST 

Tìm ,  và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n dãy số:

Giải nhanh:

Bài tập 2 trang 50 sgk toán 11 CTST 

Cho dãy số () với . Tìm ,, và dự đoán công thức số hạng tổng quát un

Giải nhanh:

Ta có

Công thức số hạng tổng quát:

Bài tập 3 trang 50 sgk toán 11 CTST 

Xét tính tăng, giảm của dãy

Giải nhanh:

.
Ta có: . Vậy là dãy số giảm.

Bài tập 4 trang 50 sgk toán 11 CTST

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) với = sin² + cos²

b) với 

Giải nhanh:

a) Ta có: . Vậy dãy số bị chặn.
b) Ta có: . Vậy dãy số bị chặn dưới.
. Vậy dãy số bị chặn trên.
Suy ra dãy số bị chặn.

Bài tập 5 trang 50 sgk toán 11 CTST 

Cho dãy . Chứng minh () là dãy số tăng và bị chặn.

Giải nhanh:

Ta có .
Suy ra . Vậy là dãy số tăng.
Ta có: . Vậy dãy số bị chặn dưới.
. Vậy dãy số bị chặn trên.
=> Dãy số bị chặn.
Vậy là dãy số tăng và bị chặn.

Bài tập 6 trang 50 sgk toán 11 CTST

Cho dãy số (un) với Tìm các giá trị của a để:

a) () là dãy số tăng;

b) () là dãy số giảm.

Giải nhanh:

Ta có
a) là dãy số tăng khi và chỉ khi
b) là dãy số giảm khi và chỉ khi
Bài tập 7 trang 50 sgk toán 11 CTST 

Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Giải nhanh:

Dãy số: .
Nhận xét: Kể từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng của dãy bằng tổng của hai số hạng liền trước.