1. DÃY SỐ LÀ GÌ?

Bài 1: Cho hàm số...

Đáp án:

u(1)=1; u(2)=4; u(50)=2500; u(100)=10000

Bài 2: Cho hàm số...

Đáp án:

v(1)=2.1=2; v(2)=4; v(3)=6; v(4)=8; v(5)=10

Bài 3: Cho dãy số...

Đáp án:

a) Đây là dãy số vô hạn do hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương

b) $u_{1}=1^{3}=1$

$u_{2}=8$

$u_{3}=27$

$u_{4}=64$

$u_{5}=125$

Bài 4: Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính...

Đáp án:

a) $S_{1}=\pi . 1^{2}=\pi$

$S_{2}=4\pi$

$S_{3}=9\pi$

$S_{4}=16\pi$

$S_{5}=25\pi$

b) Số hạng đầu $S_{1}= \pi$; số hạng cuối $S_{5}=25\pi$

2. CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

Bài 1: Cho các dãy...

Đáp án:

$a_{1}=0; a_{2}=1; a_{3}=2; a_{4}=3$

$b_{1}=2; b_{2}=4; b_{3}=6; b_{4}=8$

$c_{1}=1; c_{2}=2; c_{3}=3; c_{4}=4$

$d_{1}=2\pi; d_{2}=4\pi; d_{3}=6\pi; d_{4}=8\pi$

Bài 2: Cho dãy số...

Đáp án:

a) $u_{2}=2.u_{1}=2.3$

$u_{3}=2.u_{2}=2^{2}.3$

$u_{4}=2.u_{3}=2^{3}.3$

b) $u_{n}=2^{n-1}.3$

Bài 3: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp...

Đáp án:

a) Ta có:

u_{1} = 14 = 13 + 1

u_{2} = 15 = 13 + 2

=> $u_{n}=13+n$

b) Công thức truy hồi: $u_{1}=14 u_{n}=u_{n-1}+1 $

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Bài 1: Cho hai dãy số...

Đáp án:

a) $a_{n}=3n+1; a_{n+1}=3(n+1)+1=3n+4$

$a_{n+1} - a_{n}=3n+4 - 3n - 1=3>0$

=> $a_{n}<a_{n+1}$

b) $b_{n}=-5n; b_{n+1}=-5(n+1)=-5n-5$

$b_{n+1} - b_{n}=-5n-5 +5n = -5<0$

=> $b_{n}>b_{n+1}$

Bài 2: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau... 

Đáp án:

a) Ta có: $u_{n}=\frac{2n-1}{n+1}=2-\frac{3}{n+1}<u_{n+1}=2-\frac{3}{n+2}$, $\forall$ n $\in N^{*}$

=> $u_{n+1} - u_{n}>0$

Vậy $(u_{n})$ là dãy số tăng

b) Ta nhận thấy các số hạng của dãy ($x_{n}$) đều là số dương. Ta lập tỉ số hai số hạng liên tiếp của dãy:

$\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{n+2}{4(n+1)}<1$,  $\forall$ n $\in N^{*}$

=> $x_{n+1}<x_{n}$, $\forall$ n $\in N^{*}$

Vậy ($x_{n}$) là dãy số giảm

c) Ta có: $t_{1}=-1; t_{2}=4; t_{3}=-9$

=> $t_{1}<t_{2}, t_{2}>t_{3}$

Vậy ($t_{n}$) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

Bài 3: Một chồng gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột...

Đáp án:

a) Ta có: $u_{1}=25; u_{2}=24 = u_{1} – 1$

=> $u_{n}=26-n>u_{n+1}=26-n-1=25-n$

Vậy dãy số ($u_{n}$) là dãy số giảm

b) Ta có: $v_{1}=14; v_{2}=15 = v_{1} + 1$

=> $v_{n}=13+n<v_{n+1}=13+n+1=14+n$

Vậy dãy số ($v_{n}$) là dãy số tăng.

4. DÃY SỐ BỊ CHẶN

Bài 1: Cho dãy số...

Đáp án:

$\forall$ n $\in N^{*}$

1 > 0; n > 0 => $\frac{1}{n} > 0$

Mà $n \geq 1$ => $\frac{1}{n} \leq 1$

=> $0<u_{n}\leq1$

Bài 2: Xét tính bị chặn của các dãy số sau...

Đáp án:

a) Ta có $-1\leq cos\frac{\pi}{n}\leq1$

=>$ -1\leq a_{n}\leq1$.

Vậy $a_{n}$ bị chặn.

b) Ta có $\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$

Do n + 1 > 0 => $1 > \frac{1}{n+1} >0$

Vậy $b_{n}$ bị chặn.

5. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Tìm $u_{2}$

Đáp án:

$u_{2}=\frac{1}{2}; u_{3}=\frac{1}{3}$.

=> $u_{n}=\frac{1}{n}$.

Bài 2: Cho dãy số...

Đáp án:

Ta có: $u_{1}=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}$

$u_{2}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}$

$u_{3}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}$

Công thức số hạng tổng quát: $u_{n}=\frac{n}{n+1}$

Bài 3: Xét tính tăng, giảm của dãy...

Đáp án:

$y_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$;  $y_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$

Ta có: $y_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$ < $y_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$, $\forall$ n $\in N^{*}$

Hay $y_{n+1} - y_{n}<0$

Vậy ($y_{n}$) là dãy số giảm.

Bài 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau...

Đáp án:

a) $-1\leq a_{n}\leq 2$, $\forall$ n $\in N^{*}$

Vậy dãy số ($a_{n}$) bị chặn.

b) $u_{n}=\frac{6n-4}{n+2}>\frac{6-4}{n+2}=\frac{2}{n+2}>0$, $\forall$ n $\in N^{*}$

=> ($u_{n}$) bị chặn dưới.

$u_{n}=\frac{6n-4}{n+2}=\frac{6n+12-16}{n+2}=6-\frac{16}{n+2}<6$, $\forall$ n $\in N^{*}$

=> ($u_{n}$) bị chặn trên.

Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn.

Bài 5: Cho dãy...

Đáp án:

+) $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{3}{(n+2)(n+1)}>0$, $\forall$ n $\in N^{*}$

=> $u_{n+1}>u_{n}$, $\forall$ n $\in N^{*}$

Vậy ($u_{n}$) là dãy số tăng.

+) $u_{n}>\frac{2-1}{n+1}=\frac{1}{n+1}>0$, $\forall$ n $\in N^{*}$

=> ($u_{n}$) bị chặn dưới.

$u_{n}=\frac{2n-1}{n+1}=\frac{2n+2-3}{n+1}=2-\frac{3}{n+1}<2$, $\forall$ n $\in N^{*}$

=> ($u_{n}$) bị chặn trên.

Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn.

Bài 6: Cho dãy số...

Đáp án:

Ta có $u_{n+1}-u_{n}=\frac{a(n+1)+2}{n+2}-\frac{an+2}{n+1}=\frac{a-2}{(n+2)(n+1)}$

a) Để ($u_{n}$) là dãy số tăng <=> $\frac{a-2}{(n+2)(n+1)}>0$ <=> $a>2$

b) ($u_{n}$) là dãy số giảm khi và chỉ khi <=> $\frac{a-2}{(n+2)(n+1)}<0$ <=> $a<2$

Bài 7: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3...

Đáp án:

Ta có dãy số: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21.

$u_{3}=2=u_{2}+u_{1}$

$u_{4}=3=u_{3}+u_{2}$

Nhận xét: Kể từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng của dãy bằng tổng của hai số hạng liền trước.