1. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: Mặt bàn, mặt phẳng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Hãy chỉ thêm các ví dụ khác về hình ảnh của một phần mặt phẳng.

Đáp án: 

• Hình ảnh về một mặt phẳng có thể kể đến: Mặt tivi, trang giấy, mặt gương,..

Bài 2:

a) Vẽ hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật

b) Quan sát Hình 4a và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (P)

c) Quan sát Hình 4b và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (Q)

Đáp án: 

a) 

b) Điểm $\in$ (P) là: A'; B'; C'; D'

Điểm ∉ (P) là: A; B; C; D

c) Điểm $\in$ (Q) là: A; C; D

Điểm ∉ (Q) là: B

2. CÁC TÍNH CHẤT ĐƯỢC THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Bài 1: Quan sát Hình 5 và cho biết muốn gác một cây sào tập nhảy cao, người ta cần dựa nó vào mấy điểm trên...

Đáp án: 

Người ta cần dựa nó vào một điểm trên mỗi cọc đỡ.

Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt, trong đó không...

Đáp án: 

Với 4 điểm phân biệt ta xác định được 6 đường thẳng đi qua 2 trong 4 điểm: AB,  AC, AD, BC, BD 

Bài 3: Quan sát Hình 7 và cho biết giá đỡ máy ảnh...

Đáp án: 

Giá đỡ máy ảnh thường có ba chân vì khi đó giá đỡ tiếp đất tại 3 điểm. Mà 3 điểm thì sẽ tạo một mặt phẳng để giữ cân bằng và đỡ được máy ảnh.

Bài 4: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác...

Đáp án: 

Chỉ có 1 mặt phẳng duy nhất đi qua 3 đỉnh của △MNP

Bài 5: Quan sát Hình 10 và cho biết người thợ mộc kiểm tra mặt bàn...

Đáp án: 

Người thợ mộc rê thước trên mặt bàn. Khi đó, nếu rê thước mà có 1 điểm thuộc cạnh thước nhưng không thuộc mặt bàn thì bàn đó chưa phẳng và ngược lại.

Bài 6: Cho mặt phẳng (Q) đi qua bốn đỉnh của tứ giác ABCD...

Đáp án: 

Ta có (Q) là mặt phẳng duy nhất đi qua bốn điểm A, B, C, D (tính chất 2)

Áp dụng tính chất 3, ta có mọi điểm nằm trên đường chéo AC và BD đều thuộc mặt phẳng (Q)

Vậy các điểm nằm trên đường chéo của tứ giác ABCD đều thuộc mặt phẳng (Q).

Bài 7: Quan sát Hình 13 và cho biết bốn đỉnh...

Đáp án: 

Bốn đỉnh trên không cùng nằm trên một mặt phẳng

Bài 8: Cho tam giác MNP và cho điểm O không thuộc mặt phẳng chứa ba điểm...

Đáp án: 

Ta xác định được bốn mặt phẳng phân biệt: (OMN), (ONP), (OPM), (MNP).

Bài 9: Quan sát Hình 14 và mô tả phần giao nhau của hai bức tường...

Đáp án: 

Hai bức tường giao nhau bởi một đường thẳng.

Bài 10: A, B, C cùng thuộc một giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt nên thẳng hàng với nhau.

Đáp án: 

Ta có: A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β). 

=> A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) (tính chất 5)

Vậy A, B, C thẳng hàng

Bài 11: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC có M, N...

Đáp án: 

Xét △ABC:

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

=> MN là đường trung bình của △ABC

=> $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$

Bài 12: Tại sao muốn đóng mở cánh cửa được êm...

Đáp án: 

Sử dụng tính chất 5, nếu 3 điểm đều nằm trên cùng một đường thẳng thì đường thẳng đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng là mặt phẳng chứa cánh cửa và mặt phẳng chứa bức tường. Khi đó cánh cửa đóng mở được êm hơn.

3. CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG

Bài 1: Cho đường thẳng a và điểm...

Đáp án: 

Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P). 

Ta có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt A, B, C là (ABC) (tính chất 2).

B, C ∈ (P) mà đường thẳng a qua B, C nên mọi điểm thuộc đường thẳng a đều thuộc (P) (tính chất 3). 

Bài 2: Hai đường thẳng phân biệt a và b cắt nhau tại O. Trên a, b lấy...

Đáp án: 

Đường thẳng a và b nằm trong mặt phẳng (P) vì

• (P) đi qua hai điểm N, O nên (P) chứa đường thẳng a (tính chất 3)
• (P) đi qua hai điểm M, O nên (P) chứa đường thẳng b (tính chất 3)

Bài 3: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và điểm M không...

Đáp án: 

a) Ta có:

$M \in (M,a)$ và $M \in (M,b)$.

$O \in a$ ⇒ $O \in (M,a)$

$O \in b$⇒ $O \in (M,b)$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b) là đường thẳng MO 

b) $A, B \in(MAB)$;

$A \in a$ ⇒ $A \in (a,b) $

$B \in b ⇒ b \in(a,b)$

Vậy AB của (MAB) và (a,b).

c) Giao tuyến của (MAB) và (a, b) là AB (cmt)

Mà C là giao của A’B’ với (a,b) nên C cũng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (a,b).

=> A, B, C thẳng hàng.

Bài 4: Giải thích tại sao ghế bốn chân có thể bị khập khiễng còn ghế ba...

Đáp án: 

- Với ghế 3 chân, ta chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm thuộc chân ghế nên ghế ba chân không thể khập khiễng.

- Bốn điểm thì có thể không cùng nằm trên một mặt phẳng nên có thể bị khập khiễng

Bài 5: Trong xây dựng, người ta thường dùng máy quét tia laser...

Đáp án: 

Giao tuyến của (OA, OB) với hai mặt tường là AC và BC.

4. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

Bài 1: 

a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình...

Đáp án: 

a) Hình tam giác

b) Điểm giống nhau: Các mặt bên đều là tam giác và có chung một đỉnh.

Bài 2: Trong Hình 34, hình chóp nào có số mặt ít...

Đáp án: 

Hình 34a có số mặt ít nhất và có 4 mặt

Bài 3: Cho tứ diện...

Đáp án: 

a) Trong (SAC), kẻ HK ∩ AC = E.

Ta có $E \in AC => E \in (SAC)$. 

$E \in HK $=> HK ∩ (SAC) = E.

b) Gọi BK ∩ SI = M. 

A và M là điểm chung (SAI) và (ABK) => giao tuyến của (SAI) và (ABK) là AM.

H và I là điểm chung (SAI) và (BCH) => giao tuyến của (SAI) và (BCH) là HI.

Bài 4: Cho hình chóp...

Đáp án: 

a) Ta có: 

S và O là điểm chung của (SAC) và (SBD) => giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO

S và O' là điểm chung của (SA'C') và (SB'D') => giao tuyến của (SA'C') và (SB'D') là SO'

Mà (SAC)≡(SA'C'), (SBD)≡(SB'D') nên SOSO'

Hay S, O, O' thẳng hàng

b) Ta có: 

S và E là điểm chung của (SAB) và (SCD) => giao tuyến của (SAB) và (SCD) là SE

S và E' là điểm chung (SA'B') và (SC'D') => giao tuyến của (SA'B') và (SC'D') là SE'.

Mà (SAB)≡(SA'B'), (SCD)≡(SC'D') nên SE≡SE'.

Hay S, E, E' thẳng hàng.

Bài 5: Nêu cách tạo lập tứ diện...

Đáp án: 

+) Chia tam giác SS’S” thành 4 tam giác bằng nhau như hình vẽ:

- Lấy A, C, B lần lượt là trung điểm của SS’, SS”, S’S”.

- Nối các đoạn thẳng AB, BC, AC ta được bốn tam giác đều bằng nhau ∆SAC, ∆S’AB, ∆ABC, ∆S”BC.

+) Gập các nếp gấp AC, BC, AB, rồi chụm các đỉnh S, S’, S” làm một ta được hình chóp SABC.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Cho hình chóp...

Đáp án: 

a) Ta có:

$M \in SA $=> $M \in (SAC) $

$N \in SC$ => $N \in (SAC)$ 

=>  MN nằm trong (SAC).

b) $O \in AC$ và BD => O là điểm chung của (SAC) và (SBD).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành...

Đáp án: 

a) Gọi O = AC BD.

Trong ∆SAC, hai trung tuyến AM và SO cắt nhau tại trọng tâm I. 

Do SO⊂(SBD) nên AM∩(SBD)=I 

Mà I là trọng tâm của SAC => IA=2IM.

b) Trong mặt phẳng (SBD), gọi E = BI SD => E ∈ BI

Mà BI⊂(ABM) => SD∩(ABM)=E

c) Trong mặt phẳng (ABM), gọi F = MN BI. 

Mà BI⊂(SBD) => MN∩(SBD)=F.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành...

Đáp án: 

a) Trong (SBD), Gọi E = MN ∩ SO.

Mà MN⊂(MNP) => SO ∩ (MNP)=E.

b) Trong (SAC), Gọi Q = PE ∩ SA.

Mà PE⊂(MNP) => SA∩(MNP)=Q.

c) I,J,K là ba điểm chung của (MNP) và (ABCD) 

=> I,J,K thẳng hàng.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD...

Đáp án: 

a) G và I là điểm chung của (EFG) và (BCD) => Giao tuyến của (EFG) và (BCD) là GI hay GI=(EFG) ∩ (BCD)

F và H là điểm chung của (EFG) và (ACD) => Giao tuyến của (EFG) và (ACD) là FH hay FH=(EFG) ∩ (ACD).

b) Trong (EFG), vẽ M = IG ∩ FH. 

Ta có M là điểm chung của (ACD) và (BCD) => CD là giao tuyến của (ACD) và (BCD) phải đi qua M. 

Vậy CD,IG,HF cùng đi qua một điểm.

Bài 5: Thước laser phát ra tia laser, khi tia này...

Đáp án: 

Giao tuyến của mặt phẳng ánh sáng với mặt tường hoặc mặt sàn là một đường thẳng, do đó thước kẻ laser sẽ giúp người thơ xây dựng kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.