CHƯƠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 

1. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

HĐKP 1

Ví dụ về hình ảnh của mặt phẳng:

- mặt tivi, trang giấy, mặt gương,..

Kết luận:

- Điểm, đường thẳng và mặt phẳng là ba đối tượng cơ bản của hình học phẳng.

- Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn

Chú ý:

Mặt phẳng (P) còn được viết tắt mp(P) hoặc (P).

*) Điểm thuộc mặt phẳng

- Nếu điểm A thuộc mặt phằng (P), thì ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, kí hiệu A∈(P).

- Nếu điểm B không thuộc mặt phẳng (P), thì ta nói B nằm ngoài (P) hay (P) không chứa B, kí hiệu B∉(P).

*) Biểu diễn các hình trong không gian lên mặt phẳng

+ Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

 + Giữ nguyên tính liên thuộc giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng. 

+ Giữ nguyên tính song song, tính cắt nhau giữa các đường thẳng.

+ Đường nhìn thấy: vẽ nét liền. Đường bị che khuất: vẽ nét đứt.

- Hình biểu diễn của một số hình thường gặp

Thực hành 1

a) Hình hộp chữ nhật

b) Điểm thuộc mặt phẳng (P) là: A'; B'; C'; D'

Điểm không thuộc mặt phẳng (P) là: A; B; C; D

c) Điểm thuộc mặt phẳng (Q) là: A; C; D

Điểm không thuộc mặt phẳng (Q) là: B

2. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

HĐKP 2

Dựa vào hai điểm trên hai cọc đỡ.

Tính chất 1

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

+ Kí hiệu đường thẳng qua hai điểm phân biệt A, B là AB.

Ví dụ 1 (SGK -tr.90)

Thực hành 2

Có 6 đường thẳng.

HĐKP 3

Giá đỡ máy ảnh tiếp đất tại 3 điểm.

Giá đỡ máy ảnh thường có ba chân vì khi đó giá đỡ tiếp đất tại 3 điểm. Mà 3 điểm thì sẽ xác định một mặt phẳng.

Tính chất 2

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Chú ý:

Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được kí hiệu là (ABC).

Ví dụ 2 (SGK -tr.90)

Thực hành 3:

Có duy nhất một mặt phẳng.

HĐKP 4

Đặt câu thước có hai điểm chung với mặt bàn, cây thước phải hoàn toàn nằm trên mặt bàn.

Tính chất 3

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Chú ý: đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) thường được kí hiệu là d ⊂(P) hoặc (P)⊂d.

Ví dụ 3 (SGK -tr.91)

Thực hành 4

Áp dụng tính chất 3, ta có mọi điểm thuộc hai đường thẳng AC, BD đều thuộc mặt phẳng (P).

HĐKP 5 

Bốn đỉnh của cái bánh giò không cùng nằm trong cùng mặt phẳng.

- Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Chú ý: 

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. 

Nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.

Ví dụ 4 (SGK -tr.91)

Thực hành 5

Có bốn mặt phẳng: (OMN), (ONP), (OPM), (MNP).

HĐKP 6:

Phần giao nhau của hai bức tường là một đường thẳng.

- Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai phẳng đó.

Chú ý: đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Kí hiệu d=(P)∩(Q).

Ví dụ 5 (SGK -tr.92)

Thực hành 6:

A, B, C cùng thuộc một giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt nên thẳng hàng với nhau.

HĐKP 7:

$\frac{MN}{BC}$=$\frac{1}{2}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

- Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

Ví dụ 6 (SGK -tr.93)

Vận dụng 1

Sử dụng tính chất 5, ta có nếu 3 điểm đều nằm trên cùng một đường thẳng thì đường thẳng đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng là mặt phẳng chứa cánh cửa và mặt phẳng chứa bức tường.

3. CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG

Cách xác định 1:

Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa ba điểm không thẳng hàng.

Ví dụ:

Mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C không thẳng hàng kí hiều là mp(ABC) hay (ABC).

Ví dụ 7  (SGK -tr.94)

HĐKP 8

Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P). 

Vì qua ba điểm xác định duy nhất một mặt phẳng (tính chất 2).

B, C thuộc mặt phẳng (P) mà đường thẳng a qua B, C nên mọi điểm thuộc đường thẳng 

a đều thuộc (P) (tính chất 3).

Cách xác định 2:

Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.

Ví dụ:

Mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a không qua điểm A, kí hiệu mp(A,a) hay (A,a).

Ví dụ 8 (SGk -tr.94)

HĐKP 9

Đường thẳng a và b nằm trong mặt phẳng (P) vì

+ (P) đi qua hai điểm N, O nên (P) chứa đường thẳng a.

+ (P) đi qua hai điểm M, O nên (P) chứa đường thẳng b.

Cách xác định 3:

- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ:

Mặt phẳng xác định bởi hai đường thwangr a, b cắt nhau kí hiệu là mp(a,b).

Ví dụ 9 (SGK -tr.95)

Thực hành 7

a) Ta có: M∈(M,a)  và M∈(M,b).

O∈a⇒O∈(M,a)

O∈b⇒O∈(M,b)

Vậy MO là giao tuyến cần tìm.

b) A, B∈(MAB);

A∈a⇒A∈(a,b)

B∈b⇒b∈(a,b)

Vậy AB là giao tuyến cần tìm.

c) Giao tuyến của mặt phẳng (MAB) và mp(a,b) là AB

Mà C là giao của A’B’ với (a,b) nên C cũng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (a,b).

Suy ra A, B, C thẳng hàng.

Vận dụng 2

- Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng.

- Bốn điểm thì có thể không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Vận dụng 3

+) Giao tuyến của (OA, OB) với hai mặt tường lần lượt là AC và BC.

4. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

a) Hình chóp

HĐKP 10

a) Hình tam giác

b) Các mặt bên đều là tam giác và có chung một đỉnh.

Kết luận: 

- Cho đa giác lồi A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$ nằm trong mặt phẳng và một điểm S không thuộc (α). Nối S với các đỉnh A$_{1}$,A$_{2}$,…,A$_{n}$ để được n tam giác SA$_{1}$A$_{2}$,SA$_{2}$A$_{3}$,…,SA$_{n}$A$_{1}$. Hình gồm n tam giác đó và đa giác A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$ được gọi là hình chóp và kí hiệu là S.A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$.

- Trong hình chóp S.A$_{1}$A2A$_{n}$, 

+ Điểm S được gọi là đỉnh;

+ Đa giác A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$ được gọi là mặt đáy, 

+ Các tam giác SA$_{1}$A$_{2}$,SA$_{2}$A$_{3}$,…,SA$_{n}$A$_{1}$ được gọi là các mặt bên; 

+ Các đoạn SA$_{1}$,SA$_{2}$,…,SA$_{n}$ được gọi là các cạnh bên; 

+ Các cạnh A$_{1}$A$_{2}$,A$_{2}$A$_{3}$,…,A$_{n}$A$_{1}$ được gọi là các cạnh đáy.

- Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,… lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Ví dụ 10 (SGK -tr.96)

b) Hình tứ diện

HĐKP 11

Hình 34a có số mặt ít nhất

Kết luận

- Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC,ACD,ABD và BCD được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện), kí hiệu là ABCD.

Trong hình tứ diện ABCD:

+ Các điểm A,B,C,D các đỉnh.

+ Các đoạn thẳng AB,BC, CD,DA,AC,BD : các cạnh của tứ diện, 

+ Hai cạnh không đi qua cùng một đỉnh là hai cạnh đối diện.

+ Các tam giác ABC,ACD,ABD,BCD : các mặt của tứ diện.

+ Đỉnh không thuộc một mặt của tứ diện là đỉnh đối diện với mặt đó.

Ví dụ 11 (SGK -tr97)

Chú ý

a) Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.

b) Một tứ diện có thể xem là hình chóp tam giác.

Ví dụ 12 (SGK -tr.98)

Thực hành 8

a) Trong mặt phẳng (SAC), kéo dài HK cắt AC tại E.

Ta có EAC suy ra E∈(SAC). Vậy giao điểm của đường thẳng HK và mặt phẳng (SAC) là E.

b) Ta có BK cắt SI tại M. A và M là điểm chung của hai mặt phẳng (SAI) và (ABK) nên giao tuyến của (SAI) và (ABK) là AM.

Ta có H và I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAI) và (BCH) nên giao tuyến của (SAI) và (BCH) là HI.

Vận dụng 4

a)Ta có: S và O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO

Ta có: S và O' là điểm chung của hai mặt phẳng (SA'C') và (SB'D') nên giao tuyến của (SA'C') và (SB'D') là SO'

Mà (SAC)≡(SA'C'), (SBD)≡(SB'D') nên SO≡SO'

Hay S, O, O' thẳng hàng

b) Ta có: S và E là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là SE

Ta có: S và E' là điểm chung của hai mặt phẳng (SA'B') và (SC'D') nên giao tuyến của (SA'B') và (SC'D') là SE'.

Mà (SAB)≡(SA'B'), (SCD)≡(SC'D') nên SESE'.

Hay S, E, E' thẳng hàng.

Vận dụng 5

Gấp theo các cạnh AB, BC, CA để ba điểm S, S’, S’’ trùng nhau.