Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD. Gọi E, F lần lượt là hai điểm trên hai cạnh SB, SD.

a) Tìm giao điểm của EF với (SAC).

b) Tìm giao điểm của BC với (AEF).

Trả lời:

a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi $O = AC \cap BD$.

Ta có $O \in AC, AC \subset (SAC)$ nên $O\in (SAC)$

$O \in BD, BD \subset (SBD)$ nên $O \in (SBD)$

Do đó $O \in (SAC) \cap (SBD)$

Lại có $S \in (SAC)$ và $S \in (SBD)$ nên $S \in (SAC) \cap (SBD)$

Suy ra $(SAC) \cap (SBD) = SO$.

Trong mặt phẳng (SBD), gọi $I = EF \cap SO$.

Ta có $I \in SO, SO \subset (SAC)$ nên $I \in (SAC)$

Vậy $EF \cap (SAC) = I$.

b) Trong mặt phẳng (SBD), gọi $K = EF \cap BD$.

Ta có $K \in EF, EF \subset (AEF)$ nên $K \in (AEF)$;

$K \in BD, BD \subset (ABCD)$ nên $K \in (ABCD)$

Do đó $K \in (ABCD) \cap (AEF)$.

Lại có $A \in (ABCD)$ và $A\in (AEF)$ nên $A = (ABCD) \cap (AEF)$.

Suy ra $(ABCD) \cap (AEF) = AK$.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi $H = BC \cap AK$.

Ta có $H \in AK, AK \subset (AEF)$ nên $H \in (AEF)$.

Vậy $BC \cap (AEF) = H$.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi D, E, F lần lượt là ba điểm trên ba cạnh SA, SB, SC sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Trả lời:

Ta có: I là giao điểm của DE và AB.

Suy ra:

$I \in DE$, mà $DE \subset (DEF)$ nên $I \in (DEF)$;

$I \in AB$, mà $AB \subset (ABC)$ nên $I \in (ABC)$.

Do đó $I \in (DEF) \cup (ABC)$.

Tương tự, ta có J, K cũng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (DEF), (ABC).

Vậy I, J, K thẳng hàng.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là các điểm thuộc ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, AD cắt EG tại H. Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của HF và IG.

Ta có:

$O\in HF$, mà $HF \subset (ACD)$, suy ra $O \in (ACD)$;

$O \in IG$, mà $IG \subset (BCD)$, suy ra $O \in (BCD)$.

Do đó, $O \in (ACD) \cup (BCD)$ (1)

Mặt khác, $(ACD) \cup (BCD) = CD$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $O \in CD$.

Lại có $O = HF \cup IG$ nên O là giao điểm của ba đường thẳng CD, IG, HF.

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm E, F, G sao cho EB > AE, AF > FC, BG > GD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (EFG) và (ACD), (EFG) và (BCD), (EFG) và (ABD).

Trả lời:

Ta có $EF \subset (ABC)$ và $EF \subset (EFG)$ nên $(EFG)\cup  (ABC) = EF$.

Trong mặt phẳng (ABC), gọi I là giao điểm của EF và BC.

Trong mặt phẳng (BCD), gọi H là giao điểm của IG và CD.

Ta có $H \in IG$, mà $IG \subset (EFG)$ nên $H \in (EFG)$

Lại có $F \in (EFG)$ nên $FH \subset (EFG)$ (1)

Ta cũng có $F \in AC$, mà $AC \subset (ACD)$

$H \in CD$, mà $CD \subset (ACD)$

Do đó $FH \subset (ACD)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $(EFG) \cup (ACD) = FH$.

Tương tự, ta cũng có:

$HG \subset (EFG)$ và $HG \subset (BCD)$ nên $(EFG) \cup (BCD) = HG$;

$GE \subset (EFG)$ và $GE \subset (ABD)$ nên $(EFG) \cup (ABD) = GE$.

Vậy $(EFG) \cup (ACD) = FH, (EFG) \cup (BCD) = HG, (EFG) \cup (ABD) = GE$.