Bài 1: Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 3$ và $q=\frac{2}{3}$. Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

Trả lời:

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}=3.(\frac{2}{3})^{n-1}=\frac{3.2^{n-1}}{3^{n-1}}=\frac{2^{n-1}}{3^{n-2}}$

Bài 2: Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = -3$ và $q=\frac{2}{3}$. Tìm $u_{5}$.

Trả lời:

Ta có: $u_{5}=u_{1}.q^{4}=-3.(\frac{2}{3})^{4}=\frac{-3.2^{4}}{3^{4}}=-\frac{16}{27}$

Bài 3: Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2}=\frac{1}{4}$ và $u_{5} = 16$. Tìm công bội q và số hạng đầu $u_{1}$.

Trả lời:

Ta có: $u_{5} = u_{1}.q^{4} = u_{2}.q^{3}$

Suy ra $q^{3}=\frac{u_{5}}{u_{2}}=\frac{16}{\frac{1}{4}}=64$ nên q = 4

Do đó $u_{1}=\frac{u_{2}}{q}=\frac{\frac{1}{4}}{4}=\frac{1}{16}$

Vậy q = 4 và $u_{1}=\frac{1}{16}$.

Bài 4: Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 1, q = 2$. Số 1024 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đó?

Trả lời:

Ta có: $u_{n} = u_{1}.q^{n-1}$ nên $1.2^{n-1} = 1024$ suy ra $2^{n-1} = 2^{10}$

Suy ra n = 11

Vậy số 1024 là số hạng thứ 11 của cấp số nhân đó.

Bài 5: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $(u_{n})$, biết $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{2}=78\\u_{6}-u_{3}=234\end{matrix}\right.$

Trả lời:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là $u_{1}$ và công bội là q. Theo giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{2}=78\\u_{6}-u_{3}=234\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q^{4}-u_{1}.q=78\\u_{1}.q^{5}-u_{1}.q^{2}=234\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q.(q^{3}-1)=78\\u_{1}.q^{2}(q^{3}-1)=234\end{matrix}\right.$

Suy ra $\frac{1}{q}=\frac{78}{234}=\frac{1}{3}$, do đó q = 3.

Với q = 3 thì $u_{1}.3.(3^{3}-1) = 78$, suy ra $u_{1} = 1$.

Vậy $u_{1} = 1$ và q = 3.

Bài 6: Cho cấp số nhân $(u_{n})$, biết $u_{1} = 2, u_{3} = 18$.

a) Tìm công bội.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

Trả lời:

a) Ta có $u_{3} = u_{1}.q^{2} = 2.q^{2} = 18$, do đó $q^{2}= 9$ suy ra q = 3 hoặc q = ‒3.

b) Nếu q = 3 thì $S_{10}=\frac{2(1-3^{10})}{1-3}=59048$

Nếu q = ‒3 thì $S_{10}=\frac{2[1-(-3)^{10}]}{1-(-3)}=-29524$

Bài 7: Bác Năm gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100 triệu đồng với hình thức lãi kép, kì hạn một năm với lãi suất 8%/năm. Tính số tiền cả gốc và lãi bác Năm nhận được sau 10 năm. (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền.)

Trả lời:

Số tiền ban đầu $T_{1} = 100$ (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Năm thu được là:

$T_{2}$ = 100 + 100.8% = 100.(1 + 8%) (triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Năm thu được là:

$T_{3}$ = 100.(1 + 8%) + 100.(1 + 8%).8% = 100.(1 + 8%)$^{2}$ (triệu đồng).

Số tiền sau 3 năm bác Năm thu được là:

$T_{4}$ = 100.(1 + 8%)$^{2}$ + 100.(1 + 8%)$^{2}$.8% = 100.(1 + 8%)$^{3}$ (triệu đồng).

Số tiền sau n năm bác Năm thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu $T_{1} = 100$ và công bội q = 1 + 8% có số hạng tổng quát là:

$T_{n + 1}$ = 100.(1 + 8%)$^{n}$ (triệu đồng).

Vậy số tiền cả gốc và lãi bác Năm nhận được sau 10 năm là:

$T_{10 + 1}$ = 100.(1 + 8%)$^{10} \approx$ 215,892500 triệu = 215 892 500 đồng.

Bài 8: Một người chơi nhảy bungee trên một cây cầu với một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, người chơi được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 80% so với lần rơi trước và lại rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên. Tính tổng quãng đường đi lên của người đó sau 10 lần được kéo lên.

Trả lời:

Gọi $u_{n}$ là độ dài dây kéo sau n lần rơi xuống $(n \in \mathbb{N})$

Ta có: $u_{1}= 100$ (m).

Sau lần rơi đầu tiên độ dài dây kéo còn lại là: $u_{2}$ = 100.80% (m).

Sau cú nhảy tiếp theo độ dài dây kéo còn lại là: $u_{3}$ = 100.80%.80% = 100.(80%)$^{2}$ (m).

...

Dãy số này lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội q = 0,8%, có công thức tổng quát $u_{n}$ = 100.(0,8%)$^{n-1}$ (m).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là:

$S_{10}=\frac{80(1-0,8^{10})}{1-0,8} \approx 357,05$ (m)