Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $sin(3x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $cos(2x-30^{o}) = -1$;

c) $3sin(-2x + 17^{o}) = 4$;

d) $cos(3x-\frac{7\pi}{12})=cos(-x+\frac{\pi}{4})$;

e) $\sqrt{3}tan(x-\frac{\pi}{4})-1=0$

g) $cot(\frac{x}{3}+\frac{2\pi}{5})=cot\frac{\pi}{5}$

Trả lời:

a) $sin(3x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow sin(3x+\frac{\pi}{6})=sin\frac{\pi}{3}$

$\Leftrightarrow 3x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $3x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+k2\pi , k \in \mathbb{Z}$

$x=\frac{\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3},k \in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3},k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$ và $x = \frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3},k \in \mathbb{Z}$

b) $cos(2x -30^{o}) = -1$

$\Leftrightarrow 2x – 30^{o}= 180^{o}+k360^{o}(k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow 2x = 210^{o} + k360^{o} (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x = 105^{o} + k180^{o} (k \in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 105^{o} + k180^{o}(k\in \mathbb{Z})$.

c) $3sin(-2x + 17^{o}) = 4$

$\Leftrightarrow sin(-2x+17^{o})=\frac{4}{3}$

Do $\frac{4}{3}>1$ nên phương trình vô nghiệm.

d) $cos(3x-\frac{7\pi}{12})=cos(-x+\frac{\pi}{4})$

$\Leftrightarrow 3x-\frac{7\pi}{12}=-x+\frac{\pi}{4}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ hoặc $3x-\frac{7\pi}{12}=-(-x+\frac{\pi}{4})+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{24}+k\frac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{5\pi}{24}+k\frac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}$

e) $\sqrt{3}tan(x-\frac{\pi}{4})-1=0$

$\Leftrightarrow tan(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow tan(x-\frac{\pi}{4})=tan\frac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{12}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

g) $cot(\frac{x}{3}+\frac{2\pi}{5})=cot\frac{\pi}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{3}+\frac{2\pi}{5}=\frac{\pi}{5}+k\pi,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{3\pi}{5}+k3\pi, k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-\frac{3\pi}{5}+k3\pi,k \in \mathbb{Z}$

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $cos(2x + 10^{o}) = sin(50^{o}- x)$;

b) $8sin^{3}x + 1 = 0$;

c) $(sinx + 3)(cotx - 1) = 0$;

d) $tan(x -30^{o}) - cot50^{o}= 0$.

Trả lời:

a) $cos(2x + 10^{o}) = sin(50^{o}- x)$

$\Leftrightarrow cos(2x + 10^{o}) = cos(x + 40^{o})$

$\Leftrightarrow  2x + 10^{o}= x + 40^{o}+ k360^{o}, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $2x + 10^{o}= -x – 40^{o}+ k360^{o}, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = 30^{o}+ k360^{o}, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=-\frac{1}{3}.50^{o}+k120^{o},k \in \mathbb{Z}$.

Vậy phương trình có các nghiệm là $x = 30^{o}+ k360^{o}, k \in \mathbb{Z}$ và $x=-\frac{1}{3}.50^{o}+k120^{o}, k \in \mathbb{Z}$

b) $8sin^{3}x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow sin^{3}x=-\frac{1}{8} \Leftrightarrow  sinx=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\pi-(-\frac{\pi}{6})+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $ x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

c) (sinx + 3)(cotx ‒ 1) = 0

$\Leftrightarrow sinx + 3 = 0$ hoặc cotx ‒ 1 = 0

$\Leftrightarrow sinx = -3$ hoặc cotx = 1

Phương trình sinx = ‒3 vô nghiệm.

Phương trình cotx = 1 có nghiệm là $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

d) $tan(x - 30^{o})- cot50^{o}= 0$

$\Leftrightarrow tan(x - 30^{o}) = cot50^{o}$

$\Leftrightarrow tan(x - 30^{o}) = tan40^{o}$

$\Leftrightarrow x – 30^{o}= 40^{o}+ k180^{o}, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = 70^{o}+ k180^{o}, k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x = 70^{o}+ k180^{o}, k \in \mathbb{Z}$

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $cos(x+\frac{\pi}{4})+cos(\frac{\pi}{4}-x)=0$;

b) $2cos^{2}x + 5sinx - 4 = 0$;

c) $cos(3x-\frac{\pi}{4})+2sin^{2}x-1=0$.

Trả lời:

a) $cos(x+\frac{\pi}{4})+cos(\frac{\pi}{4}-x)=0$

$ \Leftrightarrow cos(x+\frac{\pi}{4})=-cos(\frac{\pi}{4}-x) \Leftrightarrow cos(x+\frac{\pi}{4})=cos(\frac{3\pi}{4}+x)$

$\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+x+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}-x+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=-\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

b) $2cos^{2}x + 5sinx - 4 = 0$

$ \Leftrightarrow 2(1 – sin^{2}x) + 5sinx - 4 = 0$

$ \Leftrightarrow -2sin^{2}x + 5sinx - 2 = 0$

$ \Leftrightarrow sinx = 2$ hoặc $sinx=\frac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có các nghiệm $x=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

c) $cos(3x-\frac{\pi}{4})+2sin^{2}x-1=0$

$ \Leftrightarrow cos(3x-\frac{\pi}{4})=1-2sin^{2}x \Leftrightarrow cos(3x-\frac{\pi}{4})=cos2x$

$\Leftrightarrow 3x-\frac{\pi}{4}=2x+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $3x-\frac{\pi}{4}=-2x+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{\pi}{20}+k\frac{2\pi}{5}, k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $ x=\frac{\pi}{4}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{\pi}{20}+k\frac{2\pi}{5}, k \in \mathbb{Z}$

Bài 4: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác $y=\frac{sinx-2cos3x}{sinx+sin(2x-\frac{\pi}{3})}$.

Trả lời:

Hàm số xác định khi và chỉ khi $sinx+sin(2x-\frac{\pi}{3})\neq 0$

Ta có

$sinx+sin(2x-\frac{\pi}{3})=0$

$ \Leftrightarrow sinx=-sin(2x-\frac{\pi}{3})$

$ \Leftrightarrow sinx = sin(-2x+\frac{\pi}{3})$

$x=-2x+\frac{\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\pi+2x-\frac{\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

Do đó $sinx+sin(2x-\frac{\pi}{3}) \neq 0$ khi và chỉ khi $x \neq \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$ và $x \neq -\frac{2\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là D = $\mathbb{R}$∖{$\frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3};-\frac{2\pi}{3}+k2\pi | k \in \mathbb{Z}$}

Bài 5: Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng $(-\pi; \pi)$

a) $sin(3x-\frac{\pi}{3})=1$

b) $2cos(2x-\frac{3\pi}{4})=\sqrt{3}$

c) $tan(x+\frac{\pi}{9})=tan\frac{4\pi}{9}$.

Trả lời:

a) $sin(3x-\frac{\pi}{3})=1$

$ \Leftrightarrow 3x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Với k = ‒1, ta có: $x=\frac{5\pi}{18}-1.\frac{2\pi}{3}=-\frac{7\pi}{18}$

Với k = 0, ta có: $x=\frac{5\pi}{18}+0.\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{18}$

Với k = 1, ta có: $x=\frac{5\pi}{18}+1.\frac{2\pi}{3}=\frac{17\pi}{18}$

Do phương trình có nghiệm thuộc $(-\pi; \pi)$ nên $x \in (-\frac{7\pi}{18};\frac{5\pi}{18};\frac{17\pi}{18})$

b) $2cos(2x-\frac{3\pi}{4})=\sqrt{3}$

$ \Leftrightarrow cos(2x-\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$ \Leftrightarrow cos(2x-\frac{3\pi}{4})=cos\frac{\pi}{6}$

$ \Leftrightarrow 2x-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $2x-\frac{3\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow x=\frac{11\pi}{24}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{7\pi}{24}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Với k = ‒1, ta có $x=\frac{11\pi}{24}+(-1).\pi=-\frac{13\pi}{24}$ hoặc $x=\frac{7\pi}{24}+(-1).\pi=\frac{-17\pi}{24}$

Với k = 0, ta có $x=\frac{11\pi}{24}+0.\pi=\frac{11\pi}{24}$ hoặc $x=\frac{7\pi}{24}+0.\pi=\frac{7\pi}{24}$

Với k = 1, ta có $x=\frac{11\pi}{24}+1.\pi=\frac{35\pi}{24}$ hoặc $x=\frac{7\pi}{24}+1.\pi=\frac{31\pi}{24}$

Do phương trình có nghiệm thuộc $(-\pi; \pi)$ nên $x \in (-\frac{17\pi}{24};-\frac{13\pi}{24};\frac{7\pi}{24};\frac{11\pi}{24})$

c) $tan(x+\frac{\pi}{9})=tan\frac{4\pi}{9}$

$ \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{9}=\frac{4\pi}{9}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Với x = ‒1, ta có: $x=\frac{\pi}{3}+(-1).\pi=\frac{-2\pi}{3}$

Với x = 0, ta có: $x=\frac{\pi}{3}+0.\pi=\frac{\pi}{3}$

Với x = ‒1, ta có: $x=\frac{\pi}{3}+1.\pi=\frac{4\pi}{3}$

Do phương trình có nghiệm thuộc $(-\pi; \pi)$ nên $x \in (-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{3})$

Bài 6: Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=sin(2x-\frac{\pi}{3})$ và $y=sin(\frac{\pi}{4}-x)$

b) $y=cos(3x-\frac{\pi}{4})$ và $y=cos(x+\frac{\pi}{6})$.

Trả lời:

a) Hoành độ các giao điểm của đồ thị 2 hàm số là nghiệm của phương trình: $sin(2x-\frac{\pi}{3})=sin(\frac{\pi}{4}-x)$

$ \Leftrightarrow 2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}-x+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $2x-\frac{\pi}{3}=\pi - (\frac{\pi}{4}-x)+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow x=\frac{7\pi}{36}+k\frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{13\pi}{12}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Vậy hoành độ các giao điểm của đồ thị 2 hàm số là: $x=\frac{7\pi}{36}+k\frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{13\pi}{12}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

b) Hoành độ các giao điểm của đồ thị 2 hàm số là nghiệm của phương trình:

$cos(3x-\frac{\pi}{4})=cos(x+\frac{\pi}{6})$

$ \Leftrightarrow 3x-\frac{\pi}{4}=x+\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $3x-\frac{\pi}{4}=-(x+\frac{\pi}{6})+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{24}+k\pi, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{\pi}{48}+k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Vậy hoành độ các giao điểm của đồ thị 2 hàm số là: $x=\frac{5\pi}{24}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{\pi}{48}+k\frac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Bài 7: Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y=sin3x-cos(\frac{3\pi}{4}-x)$ với trục hoành.

Trả lời:

Hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y=sin3x-cos(\frac{3\pi}{4}-x)$ với trục hoành là nghiệm của phương trình:

$sin3x-cos(\frac{3\pi}{4}-x)=0$

$\Leftrightarrow sin3x=cos(\frac{3\pi}{4}-x)$

$\Leftrightarrow sin3x=cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}-x)$

$\Leftrightarrow sin3x=sin(x-\frac{\pi}{4})$

$\Leftrightarrow 3x=x-\frac{\pi}{4}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ hoặc $3x=\pi -(x-\frac{\pi}{4})+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{8}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{5\pi}{16}+k\frac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}$

Vậy hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y=sin3x-cos(\frac{3\pi}{4}-x)$ với trục hoành là $x=-\frac{\pi}{8}+k\pi,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{5\pi}{16}+k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Bài 8: Theo định luật khúc xạ ánh sáng, khi một tia sáng được chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt không đồng chất thì tỉ số $\frac{sini}{sinr}$, với i là góc tới và r là góc khúc xạ, là một hằng số phụ thuộc vào chiết suất của hai môi trường. Biết rằng khi góc tới là $45^{o}$ thì góc khúc xạ là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Trả lời:

Vì $\frac{sin45^{o}}{sin30^{o}}=\frac{sin60^{o}}{sinr}$ nên $sinr=\frac{sin60^{o}.sin30^{o}}{sin45^{o}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

Suy ra $r=37,76^{o}$

Bài 9: Một quả bóng được ném xiên một góc $\alpha (0^{o} \leq \alpha \leq 90^{o})$ từ mặt đất với tốc độ $v_{0}$ (m/s). Khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu của quả bóng đến vị trí bóng chạm đất được tính bởi công thức $d=\frac{v^{2}_{0}sin2\alpha}{10}$.

a) Tính khoảng cách d khi bóng được ném đi với tốc độ ban đầu 10m/s và góc ném là $30^{o}$ so với phương ngang.

b) Nếu tốc độ ban đầu của bóng là 10m/s thì cần ném bóng với góc bao nhiêu độ để khoảng cách d là 5 m?

Trả lời:

a) Khoảng cách d khi bóng được ném đi với tốc độ ban đầu 10m/s và góc ném là $30^{o}$ so với phương ngang là:

$d=\frac{10^{2}sin2.30^{o}}{10}=5\sqrt{3} \approx 8,66$ (m)

b) $d=\frac{v^{2}_{0}sin2\alpha}{10}$ nên $sin2\alpha=\frac{10d}{v^{2}_{0}}$

Nếu tốc độ ban đầu của bóng là 10m/s thì cần ném bóng với góc bao nhiêu độ để khoảng cách d là 5 m là:

$sin2\alpha=\frac{10d}{v^{2}_{0}}=\frac{10.5}{10^{2}}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\alpha =30^{o}$ hoặc $2\alpha=150^{o}$

$\alpha = 15^{o}$ hoặc $\alpha=75^{o}$

Bài 10: Chiều cao h(m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h(t)=30+20sin(\frac{\pi}{25}t+\frac{\pi}{3})$

a) Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?

b) Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên?

Trả lời:

a) Cabin đạt độ cao tối đa khi $sin(\frac{\pi}{25}t+\frac{\pi}{3})=1$

Khi đó độ cao của cabin là h = 30 + 20.1 = 50 (m).

b) Thời gian để cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiênlà nghiệm của phương trình:

$30+20sin(\frac{\pi}{25}t+\frac{\pi}{3})=40$

$\Leftrightarrow sin(\frac{\pi}{25}t+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow sin(\frac{\pi}{25}t+\frac{\pi}{3})=sin\frac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{25}t+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $\frac{\pi}{25}t+\frac{\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t=-\frac{25}{6}+k50, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $t=\frac{25}{2}+k50, k \in \mathbb{Z}$

⦁ Xét $t=-\frac{25}{6}+k50, k \in \mathbb{Z}$ ta có:

$-\frac{25}{6}+k50>0 \Leftrightarrow k>\frac{1}{12}, k \in \mathbb{Z}$ nên k = 1. Do đó t = 44,8 s.

⦁ Xét $t=\frac{25}{2}+k50,k \in \mathbb{Z}$ ta có:

$t=\frac{25}{2}+k50>0 \Leftrightarrow k>-\frac{1}{4}, k \in \mathbb{Z}$ nên k = 0. Do đó t = 12,5 s.

Do 12,5 < 44,8 nên sau 12,5 giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên.