A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Cho dãy số $(u_{n})$, biết $u_{n}=\frac{1}{n}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Dãy số $(u_{n})$ có $u_{3}=\frac{1}{6}$

B. Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.

C. Dãy số $(u_{n})$ là dãy số không tăng không giảm.

D. Dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm.

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

$u_{1}=\frac{1}{1}=1; u_{2}=\frac{1}{2}; u_{3}=\frac{1}{3}$

Ta thấy $u_{1} > u_{2} > u_{3}$.

Vậy $(u_{n})$ là dãy số giảm.

Bài 2: Trong các dãy số $(u_{n})$ cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn?

A. $u_{n}=\frac{1}{9^{n}}$

B. $u_{n} = 9^{n}$.

C. $u_{n}=\sqrt{9n+1}$

D. $u_{n} = n^{9}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có $u_{n}=\frac{1}{9^{n}}<1$ với $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$, suy ra $(u_{n})$ bị chặn trên.

Bài 3: Trong các dãy số $(u_{n})$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. $u_{n}=\frac{1}{2^{n}}$

B. $u_{n}=\frac{1}{n}$

C. $u_{n}=\frac{n+5}{3n+1}$

D. $u_{n}=\frac{2n-1}{n+1}$

Trả lời

Đáp án đúng là: D

Xét $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{1}{2^{n}}$ có $u_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}$, suy ra $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{1}{2^{n+1}}:\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}<1$

Do đó $u_{n+1} < u_{n}$ nên dãy số này giảm.

Xét $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{1}{n}$ có $u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$, suy ra $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{1}{n+1}:\frac{1}{n}=\frac{n}{n+1}<1$

Do đó $u_{n+1} < u_{n}$ nên dãy số này giảm.

Xét $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n+5}{3n+1}$ có $u_{n+1}=\frac{n+1+5}{3(n+1)+1}=\frac{n+6}{3n+4}$

Suy ra $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n+6}{3n+4}-\frac{n+5}{3n+1}=\frac{(n+6)(3n+1)-(3n+4)(n+5)}{(3n+4)(3n+1)}$

$=\frac{3n^{2}+19n+6-(3n^{2}+19n+20)}{(3n+4)(3n+1)}=\frac{-14}{(3n+4)(3n+1)}<0$

Do đó $u_{n+1} < u_{n}$ nên dãy số này giảm.

Xét $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{2n-1}{n+1}$ có $u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{(n+1)+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Suy ra $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{(2n+1)(n+1)-(2n-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}$

$=\frac{2n^{2}+3n+1-(2n^{2}+3n-2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{(n+1)(n+2)}>0$

Do đó $u_{n+1}> u_{n}$ nên dãy số này tăng.

Vậy $u_{n}=\frac{2n-1}{n+1}$ là dãy số tăng.

Bài 4: Cho cấp số cộng $(u_{n})$, biết $u_{1} = 3$ và $u_{2} = -1$. Số hạng thứ ba của cấp số cộng đó là

A. $u_{3} = 4$.

B. $u_{3} = 2$.

C. $u_{3} = -5$.

D. $u_{3} = 7$.

Trả lời:

Đáp án đúng là: C

Công sai $d = u_{2}-u_{1}=-1- 3 = -4$.

Số hạng thứ 3 của cấp số cộng là: $u_{3} = u_{2} + d = -1 + (-4) = -5$.

Bài 5: Cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 3$, công sai d = 5. Số hạng thứ tư của cấp số cộng đó là

A. $u_{4} = 23$.

B. $u_{4} = 18$.

C. $u_{4} = 8$.

D. $u_{4} = 14$.

Trả lời:

Đáp án đúng là: B

Số hạng thứ tư của cấp số cộng đó là: $u_{4} = u_{1} + 3d = 3 + 3.5 = 18$.

Bài 6: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{4} = -12, u_{14} = 18$. Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là

A. $S_{16}= -24$.

B. $S_{16} = 26$.

C. $S_{16} = -25$.

D. $S_{16} = 24$.

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{\begin{matrix} u_{4}=-12\\u_{14}=18\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}+3d=-12\\u_{1}+13d=18\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} u_{1}=-21\\d=3\end{matrix}\right.$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

$S_{16}=\frac{16[2.(-21)+(16-1).3]}{2}=24$

Bài 7: Cho cấp số cộng: ‒2; ‒5; ‒8; ‒11; ‒14. Công sai d và tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó lần lượt là

A. $d = 3; S_{20} = 510$.

B. $d = -3; S_{20} = -610$.

C. $d = -3; S_{20} = 610$.

D. $d = 3; S_{20} =-610$.

Trả lời:

Đáp án đúng là: B

Công sai d = ‒5 ‒ (‒2) = ‒3.

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

$S_{20}=\frac{20[2.(-2)+19.(-3)]}{2}=-610$.

Bài 8: Một cấp số nhân có sáu số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Gọi q là công bội của cấp số nhân đó. Giá trị của q là

A. 3.

B. ‒3.

C. 2.

D. ‒2.

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có $u_{6} = u_{1}.q^{5}$, suy ra $486 = 2.q^{5}$

Do đó $q^{5} = 243 = 3^{5}$ nên q = 3.

Bài 9: Một cấp số nhân có bốn số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi S là tổng các số hạng của cấp số nhân đó. Giá trị của S là

A. 390.

B. 255.

C. 256.

D. ‒256.

Trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có $u_{4} = u_{1}.q^{3}$, suy ra $192 = 3.q^{3}$,

Do đó $q^{3}= 64 = 4^{3}$ nên q = 4

Tổng số hạng các cấp số nhân là:

$S_{4}=\frac{u_{1}(1-q^{4})}{1-q}=\frac{3(1-4^{4})}{1-4}=255$.

Bài 10: Trong các dãy số $(u_{n})$ được cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. $u_{n}= 7-3n$.

B. $u_{n}= 7-3n$.

C. $u_{n}=\frac{7}{3^{n}}$

D. $u_{n} = 7.3^{n}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

⦁ Xét $(u_{n})$ với $u_{n} = 7-3n$ có $u_{1} = 4; u_{2} = 1; u_{3}= -2$.

Suy ra $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ nên $(u_{n})$ có $u_{n} = 7- 3n$ không phải cấp số nhân.

⦁ Xét $(u_{n})$ với $7-3n$ có $u_{1} = 4; u_{2} = -2; u_{3} = -20$.

Suy ra $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ nên $(u_{n})$ có $u_{n} = 7- 3n$ không phải cấp số nhân.

⦁ Xét $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{7}{3^{n}}$ có $u_{1}=\frac{7}{3};u_{2}=\frac{7}{6};u_{3}=\frac{7}{9}$

Suy ra $\frac{u_{2}}{u_{1}}\neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ nên $(u_{n})$ có $u_{n}=\frac{7}{3^{n}}$ không phải cấp số nhân.

⦁ Xét $(u_{n})$ với $u_{n} = 7.3^{n}$ có $u_{n+1} = 7.3^{n+1}$

Suy ra $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{7.3^{n+1}}{7.3^{n}}=3$

Vậy $u_{n} = 7.3^{n}$ là cấp số nhân.

B. TỰ LUẬN

Bài 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $(u_{n})$, biết

a) $u_{n}=\frac{2n+9}{n+3}$;

b) $u_{n}=\frac{1}{\sqrt{2024+n}}$;

c) $u_{n}=\frac{n!}{2^{n}}$

Trả lời:

a) Ta có:

⦁ $u_{n}=\frac{2n+9}{n+3}=2+\frac{3}{n+3}$, suy ra $2 < u_{n} < 3,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.

⦁ $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2(n+1)+9}{n+1+3}-\frac{2n+9}{n+3}=\frac{2n+11}{n+4}-\frac{2n+9}{n+3}=\frac{-3}{(n+4)(n+3)}<0$.

Suy ra $u_{n+1} < u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $(u_{n})$ là dãy số giảm.

Do đó, $(u_{n})$ là dãy số giảm và bị chặn.

b) Ta có:

⦁ $0<\frac{1}{\sqrt{2024+n}}<1,\forall n \in \mathbb{N}^{∗}$ suy ra $0 < u_{n}Ư < 1, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.

⦁$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2024+n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024+n}}}=\frac{\sqrt{2024+n}}{\sqrt{2025+n}}<1$, suy ra $u_{n+1}< u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $(u_{n})$ là dãy số giảm.

Do đó, $(u_{n})$ là dãy số giảm và bị chặn.

c) Ta có

⦁$u_{n}=\frac{n!}{2^{n}}>0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $(u_{n})$ là dãy số bị chặn dưới.

⦁$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(n+1)!2^{n}}{n!2^{n+1}}=\frac{n+1}{2} \geq 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra $u_{n+1} > u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Do đó, $(u_{n})$ là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Bài 2: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành cấp số cộng. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.

Trả lời:

Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là: a ‒ d, a, a + d với 0 < d < a.

Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên a ‒ d + a + a + d = 3a = 3, suy ra a = 1.

Vì đây là tam giác vuông nên cạnh lớn nhất là cạnh huyền, theo định lí Pythagore, ta có: $(1 + d)^{2} = (1 - d)^{2} + 1^{2}$

Suy ra $1 + 2d + d^{2} = 1-2d + d^{2} + 1$

Do đó 4d = 1

Suy ra  $d=\frac{1}{4}$ 

Khi đó $a-d=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ và $a+d=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

Vậy ba cạnh của tam giác có độ dài là $\frac{3}{4};1;\frac{5}{4}$

Bài 3: Chu vi của một đa giác là 213 cm, số đo các cạnh của nó lập thành cấp số cộng với công sai d = 7 cm và cạnh lớn nhất bằng 53 cm. Tính số cạnh của đa giác đó.

Lời giải:

Gọi số cạnh của đa giác là n $(n\in \mathbb{N}^{*})$.

Số đo các cạnh của đa giác là $u_{1}, u_{2}, u_{3}, …, u_{n}$ (với $0 < u_{1} < u_{2} < … < u_{n})$.

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}+u_{2}+…+u_{n}=S_{n}=213\\u_{n}=53\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{n}{2}(u_{1}+u_{n})=213\\u_{1}+(n-1)d=53\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n( u_{1}+u_{n})=426(1)\\u_{1}+7(n-1)=53(2)\end{matrix}\right.$

Từ (2) suy ra $u_{1} = 53- 7(n - 1)$, thay vào (1) ta được

$n[53- 7(n - 1) + 53] = 426$

$\Leftrightarrow n(113 - 7n) = 426$

$\Leftrightarrow 7n^{2}-113n + 426 = 0$

$\Leftrightarrow n = 6$ (chọn) hoặc $n=\frac{71}{7}$ (loại)

Vậy đa giác có 6 cạnh.

Bài 4: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh: $a^{2}-c^{2} = 2ab- 2bc$.

Trả lời:

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: b ‒ a = c ‒ b

$\Leftrightarrow (b-a)^{2} = (c-b)^{2}$

$\Leftrightarrow b^{2}- 2ab + a^{2} = c^{2}-2bc + b^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}-c^{2} = 2ab - 2bc$.

Bài 5: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $(u_{n})$ có $\left\{\begin{matrix}u_{3}-u_{1}=24\\u_{6}-u_{4}=3000\end{matrix}\right.$

Trả lời:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là $u_{1}$ và công bội là q.

Theo giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{matrix}u_{3}-u_{1}=24\\u_{6}-u_{4}=3000\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q^{2}-u_{1}=24\\u_{1}.q^{5}-u_{1}.q^{3}=3000\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.(q^{2}1)=24(*)\\u_{1}.q^{3}(q^{2}-1)=3000\end{matrix}\right.$

Suy ra $\frac{1}{q^{3}}=\frac{24}{3000} \Rightarrow  q^{2}=125 \Rightarrow q=5$

Thay q = 5 vào biểu thức (*) ta có: $u_{1}(5^{2}- 1) = 24 \Leftrightarrow u_{1} = 1$

Vậy $u_{1} = 1, q = 5$.

Bài 6: Cho cấp số nhân $(u_{n})$, biết $u_{1}=12,\frac{u_{3}}{u_{8}}=243$. Tìm $u_{9}$.

Trả lời:

Gọi q là công bội của cấp số nhân $(u_{n})$.

Ta có $u_{3} = u_{1}.q^{2}, u_{8} = u_{1}.q^{7}$, suy ra $\frac{u_{3}}{u_{8}}=\frac{u_{1}.q^{2}}{u_{1}.q^{7}}=\frac{1}{q^{5}}=243$, suy ra $q=\frac{1}{3}$

Do đó $u_{9}=u_{1}.q^{8}=12.(\frac{1}{3})^{8}=\frac{4}{2187}$

Bài 7: Cho cấp số nhân: $-\frac{1}{5};a;-\frac{1}{125}$. Tính giá trị của a.

Trả lời:

Vì 3 số $-\frac{1}{5};a;-\frac{1}{125}$ lập thành cấp số nhân nên ta có:

$a^{2}=(-\frac{1}{5}).(-\frac{1}{125})=\frac{1}{625}$, suy ra $a=-\frac{1}{25}$ hoặc $a=\frac{1}{25}$

Bài 8: Một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 3$, công bội q = 2. Biết $S_{n} = 765$. Tìm n.

Trả lời:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:

$S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{3.(1-2^{n})}{1-2}=765$

$\Leftrightarrow 2^{n} - 1 = 255 \Leftrightarrow 2^{n} = 256 = 2^{8}$

$\Rightarrow n = 8$.

Bài 9: Một tháp 10 tầng có diện tích sàn của tầng dưới cùng là 6144 $m^{2}$. Tính diện tích mặt sàn tầng trên cùng, biết rằng diện tích mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt sàn tầng ngay bên dưới.

Trả lời:

Diện tích mặt sàn tầng dưới cùng là: $u_{1} = 6 144 m^{2}$

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: $u_{2}=6144.\frac{1}{2}=3072 m^{2}$

....

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là $u_{n}$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Dãy $(u_{n})$ lập thành một cấp số nhân là $u_{1} = 6144$ và công bội $q=\frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: $u_{n}=6144.(\frac{1}{2})^{n-1}$

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 10 nên ta có:

$u_{10}=u_{1}.q^{9}=6144.(\frac{1}{2})^{9}=12(m^{2})$

Bài 10: Một khay nước có nhiệt độ 20°C được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Cho biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm đi 25%. Tính nhiệt độ khay nước đó sau 4 giờ.

Trả lời:

Gọi $u_{n}$ là nhiệt độ của khay nước đó sau n – 1 giờ (đơn vị độ C) với $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Ta có:

$u_{1}$ = 20;

$u_{2}$ = 20 – 20.25% = 20.(1 – 25%) = 20.75%;

$u_{3}$ = 20.75%.75% = 20.(75%)$^{2}$; ...

Suy ra dãy $(u_{n})$ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 20 và công bội q = 75% có số hạng tổng quát $u_{n}$ = 20.(75%)$^{n-1}$ độ C.

Vậy sau 4 giờ thì nhiệt độ của khay là $u_{5}$ = 20.(75%)$^{4} \approx 6,33^{o}C$.