Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD. Chứng minh $G_{1}G_{2}$ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Trả lời:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC.

Xét $\Delta DBC$ có M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC nên MN là đường trung bình của $\Delta DBC$, suy ra MN // BC.

Do $G_{1}$ là trọng tâm $\Delta ABD$ nên $\frac{AG_{1}}{AM}=\frac{2}{3}$;

$G_{2}$ là trọng tâm $\Delta ACD$ nên $\frac{AG_{2}}{AN}=\frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{AG_{1}}{AM}=\frac{AG_{2}}{AN}=\frac{2}{3}$

Trong tam giác AMN, ta có $\frac{AG_{1}}{AM}=\frac{AG_{2}}{AN}=\frac{2}{3}$ nên $G_{1}G_{2} // MN$ (định lí Thalès đảo)

Mà MN // BC (chứng minh trên)

Suy ra $G_{1}G_{2}$ // MN // BC, mà $BC \subset (ABC), MN \subset (BCD)$.

Suy ra $G_{1}G_{2}$ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Bài 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho $AM = \frac{1}{3}AF, AN = \frac{1}{3}AD$. Chứng minh MN // (DCEF).

Trả lời:

a) Do O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O là trung điểm của BD, AC và O’ là trung điểm của BF, AE.

Xét trong $\Delta BDF$ có: O, O’ lần lượt là trung điểm của BD, BF nên OO’ là đường trung bình của $\Delta BDF$, suy ra OO’ // DF (1)

Tương tự, trong $\Delta ACE$ ta cũng có OO’ // CE (2)

Từ (1) và (2) suy ra OO’ // DF // CE, mà $DF \subset (ADF), CE \subset (BCE)$

Suy ra OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Do $AM = \frac{1}{3}AF, AN = \frac{1}{3}AD$ nên $\frac{AM}{AF}=\frac{AN}{AD}=\frac{1}{3}$

Xét $\Delta ADF$ có $\frac{AM}{AF}=\frac{AN}{AD}$ suy ra MN // DF (định lý Thalès đảo)

Mà $DF \subset (DCEF)$, suy ra MN // (DCEF).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, I là trung điểm của AB và M là điểm thuộc cạnh AD sao cho $AM = \frac{1}{3}AD$. Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh:

a) NG // (SCD);

b) MG // (SCD).

Trả lời:

a) Gọi F là giao điểm của MN và BC.

Ta có MN // AB, suy ra NF // BI (vì $F \in MN, I \in AB$).

Trong $\Delta CIB$ có NF // BI, nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{IN}{IC}=\frac{BF}{BC}$ (1)

Mặt khác, $AM = \frac{1}{3}AD$ suy ra $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$

Lại có MF // AB // DC nên $\frac{BF}{CF}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{NI}{CI}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{3}$

Trong $\Delta SAB$, ta có G là trọng tâm nên $\frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}$

Trong $\Delta SIC$, ta có $\frac{GI}{SI}=\frac{NI}{CI}=\frac{1}{3}$, suy ra GN // SC (định lí Thalès đảo).

Mà $SC \subset (SDC)$, do đó NG // (SDC).

b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của MI và DC.

Trong $\Delta OCI$ có MN // OC (do $O \in DC$), suy ra $\frac{IM}{IO}=\frac{IN}{IC}=\frac{1}{3}$ (theo định lí Thalès).

Mà $\frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}$ (G là trọng tâm của $\Delta SAB$).

Do đó, trong $\Delta SOI$ có $\frac{IM}{IO}=\frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}$, suy ra MG // OS (định lí Thalès đảo).

Mà $OS \subset (SDC)$, do đó MG // (SDC).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD, P là trung điểm của SA. Chứng minh:

a) MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD);

b) SB song song với (MNP);

c) SC song song với (MNP).

d) Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ theo thứ tự là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh $G_{1}G_{2}$ song song với (SAD).

Trả lời:

a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN // AD // BC

Ta có MN // BC và $BC \subset (SBC)$, suy ra MN // (SBC);

MN // AD và $AD \subset (SAD)$, suy ra MN // (SAD).

Vậy MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).

b) Trong $\Delta SAB$, có P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình, suy ra PM // SB

Mà $PM \subset (MNP)$, suy ra SB // (MNP).

c) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và song song AB.

Gọi E là giao điểm của MP và d.

Ta có d // AB hay ES // AB, mà AB // CD nên ES // DC, tức là ES // NC (1)

Ta cũng có ES // MB và EM // SB nên MBSE là hình bình hành, suy ra ES = MB

Mà MB = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và AB = DC)

Suy ra ES = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ESCN là hình bình hành nên SC // NE.

Lại có $NE \subset (MNP)$, suy ra SC // (MNP).

d) Gọi I là trung điểm của BC.

Do $G_{1}$ và $G_{2}$ theo thứ tự là trọng tâm của $\Delta ABC$ và $\Delta SBC$ nên $\frac{IG_{1}}{IA}=\frac{IG_{2}}{IS}=\frac{1}{3}$

Trong $\Delta SIA$, ta có $\frac{IG_{1}}{IA}=\frac{IG_{2}}{IS}=\frac{1}{3}$, suy ra $\frac{G_{1}}{G_{2}} // SA$ (định lí Thalès đảo)

Mà $SA \subset (SAD)$, nên $G_{1}G_{2} // (SAD)$.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với các mặt của hình chóp.

Trả lời:

Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm của AD, SD, SB.

Xét $\Delta ABD$ có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN // BD.

Ta có MN // BD và $MN \subset (MNPR)$ nên BD // (MNPR)

Tương tự, ta cũng có SA // (MNPR)

Ta thấy (MNPR) đi qua M và song song với BD, và SA nên chính là mp$(\alpha)$.

Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và d // AB // CD.

Khi đó, giả sử MR cắt d tại I, PI cắt SC tại Q.

Lúc này, mặt phẳng $(\alpha)$ là (MNPI).

Ta có $MN \subset (ABCD), MN \subset (MNPI)$ nên $(MNPI) \cup (ABCD) = MN$ hay $(\alpha) \cup (ABCD) = MN$.

Tương tự, $(\alpha) \cup (SAD) = NP, (\alpha) \cup (SCD) = PQ$, $(\alpha) \cup (SBC) = QR, (\alpha) \cup (SAB) = MR$.