Bài 1: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n+1}{2n+1}$. Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?

Trả lời:

Ta có: $\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}$

Suy ra 15(n + 1) = 8(2n + 1), hay 15n + 15 = 16n + 8, nên n = 7.

Vậy $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bảy của dãy số.

Bài 2: Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$, biết $\left\{\begin{matrix}u_{1}=-2\\u_{n+1}=-2-\frac{1}{u_{n}}\end{matrix}\right.$

Trả lời:

Bốn số hạng đầu tiên của dãy $u_{n}$ là:

$u_{1} = -2$;

$u_{2}=-2-\frac{1}{-2}=-\frac{3}{2}$;

$u_{3}=-2-\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}$;

$u_{4}=-2-\frac{1}{-\frac{4}{3}}=-\frac{5}{4}$;

Ta dự đoán được số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$ là $u_{n}=-\frac{n+1}{n}$

Bài 3: Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_{1}=4\\u_{n+1}=u_{n}+n ( n \geq 1)\end{matrix}\right.$.  Tìm số hạng thứ năm của dãy số đó.

Trả lời:

Ta có:

$u_{2} = u_{1} + 1 = 4 + 1 = 5$;

$u_{3} = u_{2} + 2 = 5 + 2 = 7$;

$u_{4} = u_{3} + 3 = 7 + 3 = 10$

Do đó, số hạng thứ năm của dãy số là $u_{5} = u_{4} + 4 = 10 + 4 = 14$.

Bài 4: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = (-1)^{n}$.

Trả lời:

Ta có:

$u_{1} = (-1)^{1} = -1$; $u_{3} = (-1)^{3} = -1$;…

$u_{2} = (-1)^{2} = 1; u_{4} = (-1)^{4} = 1$; …

Do đó $-1 \leq u_{n} \leq 1$, suy ra $(u_{n})$ là dãy bị chặn.

Bài 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $(u_{n})$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ sau:

a) $u_{n}=\frac{2n-13}{3n-2}$;

b) $u_{n}=\frac{n^{2}+3n+1}{n+1}$;

c) $u_{n}=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^{2}}}$.

Trả lời:

a) Số hạng tổng quát của $(u_{n})$ là $u_{n}=\frac{2n-13}{3n-2}$ nên $u_{n+1}=\frac{2(n+1)-13}{3(n+1)-2}=\frac{2n-11}{3n+1}$

Xét $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}$

$=\frac{(2n-11)(3n-2)-(2n-13)(3n+1)}{(3n+1)(3n-2)}$

$=\frac{6n^{2}-37n+22-(6n^{2}-37n-13)}{(3n+1)(3n-2)}$

$=\frac{35}{(3n+1)(3n-2)}>0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Suy ra $u_{n+1} > u_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Suy ra $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: $u_{n}=\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{\frac{2}{3}(3n-2)-\frac{35}{3}}{3n-2}=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}$

Do $n \geq 1$ nên $3n- 2 \geq 1\Rightarrow \frac{35}{3(3n-2)} \geq \frac{35}{3} \Rightarrow \frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)} \geq \frac{2}{3}-\frac{35}{3}=-11$

Do $n \geq 1$ nên $3n-2\geq 1>0 \Rightarrow \frac{35}{3(3n-2)}> \Rightarrow \frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}<\frac{2}{3}$

Suy ra $-11 \leq u_{n}<\frac{2}{3}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, suy ra $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của $(u_{n})$ là $u_{n}=\frac{n^{2}+3n+1}{n+1}$

Nên $u_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}+3(n+1)+1}{(n+1)+1}=\frac{n^{2}+5n+5}{n+2}$

$u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}+5n+5}{n+2}-\frac{n^{2}+3n+1}{n+1}$

$=\frac{(n^{2}+5n+5)(n+1)-(n^{2}+3n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}$

$=\frac{n^{3}+n^{2}+5n^{2}+5n+5n+5-(n^{3}+2n^{2}+3n^{2}+6n+n+2)}{(n+1)(n+2)}$

$=\frac{n^{2}+3n+3}{(n+1)(n+2)}>0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Suy ra $u_{n+1} > u_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Suy ra $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có $u_{n}>\frac{n^{2}+2n+1}{n+1}=n+1 \geq 2, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Suy ra $(u_{n})$ là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của $(u_{n})$ là $u_{n}=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^{2}}}$

Nên $u_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{1+(n+1)+(n+1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+3n+3}}$

Ta có $u_{n} > 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Nên $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+3n+3}}}{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n+1}}}=\sqrt{\frac{n^{2}+n+1}{n^{2}+3n+3}}<1, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ 

Suy ra $u_{n+1} < u_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Suy ra $(u_{n})$ là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có $n \geq 1;n^{2}  \geq 1 \Rightarrow 1+n+n^{2}  \geq 3 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+n+n^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

$0<u_{n}\leq \frac{1}{\sqrt{3}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Suy ra $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.

Bài 6: Xét tính tăng, giảm của các dãy số $(u_{n})$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ sau:

a) $u_{n}=n-\sqrt{n^{2}-1}$;

b) $u_{n}=\frac{n+(-1)^{n}}{n^{2}}$;

c) $u_{n}=\frac{3^{n}-1}{2^{n}}$.

Trả lời:

a) Ta có:  $u_{n+1}-u_{n}=[(n+1)-\sqrt{(n+1)^{2}-1}]-(n+\sqrt{n^{2}-1})$

$=1-\sqrt{(n+1)^{2}-1}-\sqrt{n^{2}-1}<0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Suy ra $(u_{n})$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_{n}=\frac{n+(-1)^{n}}{n^{2}}$, ta có: $u_{1}=0;u_{2}=\frac{3}{4};u_{3}=\frac{2}{9}$

Suy ra $\left\{\begin{matrix}u_{2}>u_{1}\\ u_{3}<u_{2}\end{matrix}\right.$

Do đó, $(u_{n})$ là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có

$u_{n+1}-u_{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^{n-1}}{2^{n}}=\frac{3.3^{n}-1}{2^{n+1}}-\frac{2.3^{n}-2}{2^{n+1}}=\frac{3^{n}+1}{2^{n+1}}>0,\forall n \in \mathbb{*}$

Do đó, $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Bài 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}$.

Trả lời:

Ta có: $u_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}$

$u_{n+1}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}$

Suy ra $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}>0,\forall  n \in \mathbb{N}^{*}$

Suy ra $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Do $u_{n}<1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n}=2-\frac{1}{n}$

Nên $1 < u_{n} < 2, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$.

Suy ra $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.