CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 1: DÃY SỐ

1. DÃY SỐ LÀ GÌ ?

HĐKP 1

u(1)=1;u(2)=4;u(50)=2500;

u(100)=10000

Kết luận

- Hàm số u xác định trên tập hợp N*  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là
u: N*$\rightarrow $R

       n $\rightarrow $ u$_{n}$=u(n)

+ Dãy số trên kí hiệu (u$_{n}$).

+ Dạng khai triển của dãy số (u$_{n}$): u$_{1}$,u$_{2}$,…,u$_{n}$,…

Chú ý:

+ Số u$_{1}$=u(1) gọi là số hạng đầu, u$_{n}$=u(n) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

+ (u$_{n}$) là dãy số không đổi: ∀n∈N*, u$_{n}$=C.

Ví dụ 1 (SGK -tr.45)

HĐKP 2

v(1)=2.1=2

v(2)=2.2=4

v(3)=2.3=6

v(4)=2.4=8

v(5)=2.5=10

Kết luận

- Hàm số u xác định trên tâp M={1;2;3;…,m} được gọi là một dãy số hữu hạn.

+ Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u$_{1}$,u$_{2}$,…,u$_{m}$, trong đó u$_{1}$ gọi là số hạng đầu, số u$_{m}$ gọi là số hạng cuối. 

Ví dụ 2 (SGK -tr.46)

Thực hành 1

a) Dãy số trên là dãy số vô hạn

b)

u$_{1}$=1$^{3}$=1

u$_{2}$=2$^{3}$=8

u$_{3}$=3$^{3}$=27

u$_{4}$=4$^{3}$=64

u$_{5}$=5$^{3}$=125

Vận dụng 1

a) π; 4π;9 π;16 π;25

b) Số hạng đầu là π; số hạng cuối là 25π.

2. CÁC XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

HĐKP 3

Bốn số hạng đầu tiên của các dãy số

a$_{1}$=0;a$_{2}$=1;a$_{3}$=2;a$_{4}$=3

b$_{1}$=2;b$_{2}$=4;b$_{3}$=6;b$_{4}$=8

c$_{1}$=1;c$_{2}$=2;c$_{3}$=3;c$_{4}$=4

d$_{1}$=2$\pi $;d$_{2}$=4$\pi $;d$_{3}$=6$\pi $;d$_{4}$=8$\pi $

Kết luận

Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:

Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn)

Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát u$_{n}$

Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là

+ Cho số hạng thứ nhất u$_{1}$ (hoặc một vài số hạng đầu tiền);

+ Cho một công thức tính u$_{n}$ theo u$_{n-1}$ (hoặc theo một vài số hạng đứng ngay trước nó).

Cách 4: Cho bằng cách mô tả.

Ví dụ 3 (SGK -tr.47)

Ví dụ 4 (SGK -tr.47)

Thực hành 2

a) u$_{2}$=2.u$_{1}$=2.3

u$_{3}$=2.u$_{2}$=2.2.3=2$^{2}$.3

u$_{4}$=2.u$_{3}$=2.22.3=2$^{3}$.3

b) u$_{n}$=2$^{n-1}$.3

Vận dụng 2

a) u$_{n}$=13+n

b) {u$_{1}$=14u$_{n}$=u$_{n-1}$+1

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

HĐKP 4

a) a$_{n}$=3n+1;a$_{n+1}$=3n+1+1=3n+4

Suy ra a$_{n}$<a$_{n+1}$

b) b$_{n}$=-5n;b$_{n+1}$=-5n+1=-5n-5

Suy ra b$_{n}$>b$_{n+1}$

Kết luận

- Dãy số (u$_{n}$) được gọi là dãy số tăng nếu u$_{n+1}$>u$_{n}$  n$\in $N*.

- Dãy số (u$_{n}$) được gọi là dãy số giảm u$_{n+1}$<u$_{n}$ n$\in $N*.

Ví dụ 5 (SGK -tr.48)

Ví dụ 6 (SGK -tr.48)

Thực hành 3

a) Ta có: u$_{n}$=$\frac{2n-1}{n+1}$=2-$\frac{3}{n+1}$<u$_{n+1}$=2-$\frac{3}{n+2}$, ∀n$\in $N*

Vậy (u$_{n}$) là dãy số tăng

b) Ta nhận thấy các số hạng của dãy (xn) đều là số dương. Ta lập tỉ số hai số hạng liên tiếp của dãy:

$\frac{x_{n+1}}{x_{n}}$=$\frac{n+2}{4(n+1)}$<1, ∀n$\in $N*

Suy ra x$_{n+1}$<x$_{n}$, ∀n$\in $N*

Vậy (x$_{n}$) là dãy số giảm

c) Ta có: t$_{1}$=-1;t$_{2}$=4;t$_{3}$=-9. Suy ra t$_{1}$<t$_{2}$,t$_{2}$>t$_{3}$.

Vậy (t$_{n}$) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

Vận dụng 3

a) Ta có: u$_{n}$=26-n>u$_{n+1}$=26-n-1=25-n

Vậy dãy số (un) là dãy số giảm

b) Ta có: v$_{n}$=13+n<v$_{n+1}$=13+n+1=14+n

Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

4. DÃY SỐ BỊ CHẶN 

HĐKP 5

∀n∈N*,0<u$_{n}$≤1

Kết luận

- Dãy số (u$_{n}$) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u$_{n}$≤M n$\in $N*.

- Dãy số (u$_{n}$) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u$_{n}$$\geq $m n$\in $N*.

- Dãy số u$_{n}$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bi chặn dưới, tức là tồn tại các só m,M sao cho m≤u$_{n}$≤M  n$\in $N*.

Ví dụ 7 (SGK -tr.49)

Thực hành 4

a) Ta có -1≤coscos$\frac{\pi }{n}$≤1

Suy ra -1≤a$_{n}$≤1. Vậy a$_{n}$ bị chặn.

b) Ta có $\frac{n}{n+1}$=1-$\frac{n}{n+1}$

Suy ra 0≤b$_{n}$≤1. Vậy b$_{n}$ bị chặn.