A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1: $lim\frac{3n^{2}+2n}{2-n^{2}}$ bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. ‒2.

C. 3.

D. ‒3.

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $lim\frac{3n^{2}+2n}{2-n^{2}}=lim\frac{3+\frac{2}{n}}{\frac{2}{n^{2}}-1}=\frac{3}{-1}=-3$

Bài 2: Ta có: $lim\frac{\sqrt{4n^{2}+4n+1}}{4n+1}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 1.

C. 2.

D. $+\infty$.

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

$lim\frac{\sqrt{4n^{2}+4n+1}}{4n+1}=lim\frac{\sqrt{4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{ 4+\frac{1}{n}}=\frac{\sqrt{4}}{4}=\frac{1}{2}$

Bài 3: $lim\frac{2n+1}{\sqrt{9n^{2}+1-n}}$ bằng:

A. $\frac{2}{3}$

B. 1.

C. $\frac{1}{4}$

D. 2.

Trả lời:

Đáp án đúng là: B

$lim\frac{2n+1}{\sqrt{9n^{2}+1-n}}=lim\frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{9+\frac{1}{n^{2}}}-1}=\frac{2}{3-1}=2$   

Bài 4: Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ thoả mãn $limu_{n} = 4, lim(v_{n}-3) = 0$. $lim[u_{n}(u_{n}-v_{n})]$ bằng

A. 7.

B. 12.

C. 4.

D. 28.

Trả lời:

Đáp án đúng là: C

Ta có $lim(v_{n}-3) = 0 \Leftrightarrow limv_{n} = 3$

Khi đó $lim(u_{n}(u_{n}-v_{n}))=lim(u^{2}_{n}-u_{n}v_{n})=4^{2}-(4.3)=4$

Bài 5: $lim\frac{4^{n}}{2.4^{n}+3^{n}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $lim\frac{4^{n}}{2.4^{n}+3^{n}}=lim\frac{1}{2+(\frac{3}{4})^{n}}=\frac{1}{2}$.

Bài 6: $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x-2}{2x-4}$ bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1.

D. $-\frac{1}{2}$

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x-2}{2x-4}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{2(x-2)}=\lim_{x\to 2}\frac{x+1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$ 

Bài 7: $\lim_{x\to 1}\frac{2x-2}{\sqrt{x+3}-2}$ bằng

A. 0.

B. +$\infty$.

C. 2.

D. 8.

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{2x-2}{\sqrt{x+3}-2}=\frac{(2x-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x+3)-4}$

$=\frac{2(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}=2(\sqrt{x+3}+2)$

Khi đó $\lim_{x\to 1}\frac{2x-2}{\sqrt{x+3}-2}=\lim_{x\to 1}(2(\sqrt{x+3}+2))=2.(\sqrt{1+3}+2)=8$.

Bài 8: Biết $\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+a}{x-1}=b$ với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Do $\lim_{x\to 1}(x-1)=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+a}{x-1}=b$

Trước hết ta phải

có $\lim_{x\to 1}(x^{2}-3x+a)=0$ hay $1^{2}-3.1 + a = 0 \Leftrightarrow a = 2$.

Khi đó, $\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-3x+a}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}$

$\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x-2)=1-2=-1$

Theo bài, $\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+a}{x-1}=b$ nên b = −1.

Suy ra a + b = 2 + (‒1) = 1.

Bài 9: Cho hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-3x}{|x-3|}$. Đặt $a=\lim_{x\to 3^{+}}f(x)$ và $b=\lim_{x\to 3^{-}}f(x)$. Giá trị của a ‒ 2b bằng

A. 0.

B. 9.

C. ‒3.

D. ‒9.

Trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$a=\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}\frac{x^{2}-3x}{|x-3|}=\lim_{x\to 3^{+}}\frac{x^{2}-3x}{x-3}=\lim_{x\to 3^{+}}x=3$

$b=\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{x^{2}-3x}{|x-3|}=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{x^{2}-3x}{3-x}=\lim_{x\to 3^{-}}(-x)=-3$

Khi đó a ‒ 2b = 3 ‒ 2.(‒3) = 9.

Bài 10: Biết rằng $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2,\lim_{x\to +\infty}(f(x)+2g(x))=4$. Giới hạn $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)-2g(x)}{f(x)+2g(x)}$ bằng

A. ‒1.

B. 0.

C. $\frac{1}{2}$

D. $-\frac{1}{2}$

Trả lời:

Đáp án đúng là: B

$\lim_{x\to +\infty}(f(x)+2g(x))=4$

$\Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)+2\lim_{x\to +\infty}g(x)=4$

$\Leftrightarrow 2\lim_{x\to +\infty}g(x)=4-2=2$

Suy ra $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)-2g(x)}{f(x)+2g(x)}=\frac{\lim_{x\to +\infty}f(x)-2\lim_{x\to +\infty}g(x)}{\lim_{x\to +\infty}f(x)+2\lim_{x\to +\infty}g(x)}=\frac{2-2}{2+2}=0$.

Bài 11: Biết rằng $\lim_{x\to +\infty}\frac{2ax}{\sqrt{x^{2}+ax+x}}=3$. Giá trị của a là

A. $\frac{3}{4}$

B. 6.

C. $\frac{3}{2}$

D. 3.

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\lim_{x\to +\infty}\frac{2ax}{\sqrt{x^{2}+ax+x}}=3 \Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{2a}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1}=3$

$\Leftrightarrow \frac{2a}{2}=3 \Leftrightarrow a = 3$

Bài 12: $\lim_{x\to -2^{-}}\frac{1-3x}{x+2}$ bằng

A. $+\infty$.

B. $-\infty$

C. ‒3 .

D. $\frac{7}{4}$

Trả lời:

Đáp án đúng là: B

Do $\lim_{x\to -2^{-}}(1-3x)=1-3.(-2)=1+6=7;\lim_{x\to -2^{-}}\frac{1}{x+2}=-\infty$

Nên $\lim_{x\to -2^{-}}\frac{1-3x}{x+2}=\lim_{x\to -2^{-}}((1-3x).\frac{1}{x+2})=-\infty$.

Bài 13: Biết rằng hàm số $f(x)= \left\{\begin{matrix}\frac{2-\sqrt{x-1}}{x-3}; (x\neq 3)\\ a; (x = 3)\end{matrix}\right.$ liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng

A. $-\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. ‒2.

D. 3.

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Hàm số $f(x)=\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}$ là hàm số phân thức có tập xác định D = $\mathbb{R}$∖{3} nên nó liên tục trên khoảng $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$

Do đó, để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

$\lim_{x\to 3}f(x)=f(3)$ hay $\lim_{x\to 3}\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}=a$

$\Leftrightarrow \lim_{x\to 3}\frac{(2-\sqrt{x+1})(2+\sqrt{x+1})}{(x-3)(2+\sqrt{x+1})}=a$

$\Leftrightarrow \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)(2+\sqrt{x+1})}=a$

$\Leftrightarrow \lim_{x\to 3}\frac{-1}{2+\sqrt{x+1}}=a$

$\Leftrightarrow \frac{-1}{2+\sqrt{3+1}}=a \Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}$

Bài 14: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix} tanx; (0 \leq x \leq \frac{\pi}{4})\\ k-cotx; (\frac{\pi}{4}<x \leq \frac{\pi}{2})\end{matrix}\right.$ liên tục trên đoạn $[0;\frac{\pi}{2}]$. Giá trị của k bằng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $\frac{\pi}{2}$

Trả lời:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = tanx là hàm lượng giác có tập xác định D=$\mathbb{R}$\{$\frac{\pi}{2}+k\pi$} với $k \in \mathbb{Z}$ nên nó liên tục trên các khoảng $(\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{\pi}{2}+(k+1)\pi)$

Mà $(0;\frac{\pi}{4}) \subset (\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+(k+1)\pi)$ nên hàm số y = tanx liên tục trên khoảng $(0;\frac{\pi}{4})$

Hàm số $y = k-cotx$ là hàm lượng giác có tập xác định D = $\mathbb{R}$\{$k\pi$} với $k \in \mathbb{Z}$ nên nó liên tục trên các khoảng $(k\pi; (k + 1)\pi)$.

Mà $(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}) \subset (k\pi ;(k+1)\pi)$ nên hàm số $y = k-cotx$ liên tục trên khoảng $(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2})$

Do đó, để hàm số liên tục trên đoạn $[0;\frac{\pi}{2}]$ thì hàm số liên tục tại điểm $x=\frac{\pi}{4}$ và $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0),\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{-}}f(x)=f(\frac{\pi}{2})$

Hàm số liên tục tại điểm $x=\frac{\pi}{4}$ khi và chỉ khi $\lim_{x\to (\frac{\pi}{4})^{-}}f(x)=\lim_{x\to (\frac{\pi}{4})^{+}}f(x)=f(\frac{\pi}{4})$

$\Leftrightarrow tan\frac{\pi}{4}=k-cot\frac{\pi}{4}=k-cot\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow k-1=1 \Leftrightarrow k=2 (1)$

$\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0) \Leftrightarrow \lim_{x\to 0^{+}}tanx=tan0 \Leftrightarrow tan0=tan0$ (luôn đúng)

$\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{-}}f(x)=f(\frac{\pi}{2}) \Leftrightarrow \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{-}}(k-cotx)$

$=k-cot\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow k-cot\frac{\pi}{2}=k-cot\frac{\pi}{2}$ (luôn đúng)

Vậy k = 2.

Bài 15: Biết rằng phương trình $x^{3}-2x-3 = 0$ chỉ có một nghiệm. Phương trình này có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

A. (‒1; 0).

B. (0; 1).

C. (1; 2).

D. (2; 3).

Trả lời:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số $f(x) = x^{3}-2x-3$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

$f(-1) = (-1)^{3}-2.(-1)-3 = -2$.

$f(0) = 0^{3}-2.0-3 = - 3$.

$f(1) = 1^{3}-2.1-3 = -4$.

$f(2) = 2^{3}-2.2-3 = 1$.

$f(3) = 3^{3}- 2.3-3 = 18$.

Ta thấy f(1).f(2) < 0 nên hàm số có nghiệm trong các khoảng (1; 2).

B. TỰ LUẬN

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{n(2n^{2}+3)}{4n^{3}+1}$;

b) $lim(\sqrt{n}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}))$

Trả lời:

a) $\lim\frac{n(2n^{2}+3)}{4n^{3}+1}=lim\frac{2n^{3}+3n}{4n^{3}+1}=lim\frac{2+\frac{3}{n^{2}}}{4+\frac{1}{n^{3}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

b) Ta có:

$\sqrt{n}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1})$

$=\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1})}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}$

$=\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}$

Suy ra $lim\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}=lim\frac{4}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{4}{1+1}=2$

Bài 2: Cho các dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ thoả mãn $limu_{n} = 2$, $lim(u_{n}- v_{n}) = 4$. Tìm $lim\frac{3u_{n}-v_{n}}{u_{n}v_{n}+3}$

Trả lời:

Ta có $lim(u_{n}-v_{n}) = 4$

Suy ra $limu_{n}-limv_{n} = 4$, hay $limv_{n} = limu_{n}-4 = 2-4 =-2$.

Do đó $lim\frac{3u_{n}-v_{n}}{u_{n}v_{n}+3}=\frac{3limu_{n}-limv_{n}}{limu_{n}.limv_{n}+3}=\frac{3.2-(-2)}{2.(-2)+3}=-8$

Bài 3: Tìm $lim\frac{6^{n}+4^{n}}{(2^{n}+1)(3^{n}+1)}$

Trả lời:

Ta có $\frac{6^{n}+4^{n}}{(2^{n}+1)(3^{n}+1)}=\frac{1+(\frac{2}{3})^{n}}{(1+\frac{1}{2^{n}})(1+\frac{1}{3^{n}})}$ (chia cả tử và mẫu cho $6^{n} = 2^{n}.3^{n}$).

Do đó $lim\frac{6^{n}+4^{n}}{(2^{n}+1)(3^{n}+1)}=lim\frac{1+(\frac{2}{3})^{n}}{(1+\frac{1}{2^{n}})(1+\frac{1}{3^{n}})}=\frac{1}{1.1}=1$

Bài 4: Cho a > b > 0 và $lim\frac{a^{n+1}+b^{n}}{2a^{n}+b^{n+1}}=1$. Tìm giá trị của a.

Trả lời:

Ta có $\frac{a^{n+1}+b^{n}}{2a^{n}+b^{n+1}}=\frac{a+(\frac{b}{a})^{n}}{2+b.(\frac{b}{a})^{n}}$ (chia cả tử và mẫu cho $a^{n}$).

Do đó $lim\frac{a^{n+1}+b^{n}}{2a^{n}+b^{n+1}}=lim\frac{a+(\frac{b}{a})^{n}}{2+b(\frac{b}{a})^{n}}=\frac{a+0}{2+b.0}=\frac{a}{2}$

Theo bài, $lim\frac{a^{n+1}+b^{n}}{2a^{n}+b^{n+1}}=1$, suy ra $\frac{a}{2}=1$, do đó a = 2.

Bài 5: Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn $limnu_{n}=\frac{1}{2}$. Tìm $lim(3n-4)u_{n}$.

Trả lời:

Ta có $limu_{n}=lim(\frac{1}{n}.nu_{n})=lim\frac{1}{n}.limnu_{n}=0.\frac{1}{2}=0$

Từ đó:

$lim(3n-4)u_{n}=lim(3nu_{n}-4u_{n})=3limnu_{n}-4limu_{n}=3.\frac{1}{2}-4.0=\frac{3}{2}$

Bài 6: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$).

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^{2}}$).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi $3^{n-1}$ tam giác, mỗi tam giác diện tích $\frac{1}{4^{n}}$). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Trả lời:

Ta có:

$S=\frac{1}{4}+3.(\frac{1}{4})^{2}+3^{2}.(\frac{1}{4})^{3}+...+3^{n}.(\frac{1}{4})^{n+1}+...$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\frac{3}{4}+\frac{1}{4}.(\frac{3}{4})^{2}+...+\frac{1}{4}.(\frac{3}{4})^{n}+...$

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_{1}=\frac{1}{4}$, công bội $q=\frac{3}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 nên $S=\frac{1}{4}.\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=1$

Bài 7: Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm $A_{1}$ của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm $A_{2}$ của $A_{1}B$. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm $A_{3}$ của $A_{2}B$. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.

Trả lời:

Thời gian để mũi tên bay từ A đến $A_{1}$ là giây, từ $A_{1}$ đến $A_{2}$ là $\frac{1}{4}=\frac{1}{2^{2}}$ giây, từ $A_{2}$ đến $A_{3}$ là $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}}$ giây, …

Tổng thời gian bay của mũi tên là $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{n}}+...$ (*)

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $u_{1}=\frac{1}{2}$ và công bội bằng $q=\frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1.

Do đó, tổng này bằng $\frac{1}{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1$ (giây).

Như vậy, mũi tên đến bia mục tiêu sau 1 giây.

Lập luận của nhà thông thái không đúng, sai lầm ở chỗ cho rằng tổng ở (*) không phải là một số hữu hạn.

Bài 8: Cho hàm số $f(x)= \left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-9}{|x+3|}; (x \neq -3)\\a; (x =-3)\end{matrix}\right.$

a) Tìm $\lim_{x\to -3^{+}}f(x)-\lim_{x\to -3^{-}}f(x)$

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?

Trả lời:

a) Khi $x>-3,f(x)=\frac{x^{2}-9}{|x+3|}=\frac{x^{2}-9}{x+3}=x-3$.

Khi $x<-3,f(x)=\frac{x^{2}-9}{|x+3|}=\frac{x^{2}-9}{-(x+3)}=3-x$

Từ đó, $\lim_{x\to -3^{+}}f(x)=\lim_{x\to -3^{+}}(x-3)=-6$ và $\lim_{x\to -3^{-}}f(x)=\lim_{x\to -3^{-}}(3-x)=6$

Suy ra $\lim_{x\to -3^{+}}f(x)-\lim_{x\to -3^{-}}f(x)=-6-6=-12$.

b) Do $\lim_{x\to -3^{+}}f(x) \neq \lim_{x\to -3^{-}}f(x)$, nên không tồn tại $\lim_{x\to 3}f(x)$

Do đó, hàm số không liên tục tại x = ‒3 với mọi giá trị của a.

Bài 9: Cho hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn $\lim_{x\to +\infty}f(x); \lim_{x\to -\infty}f(x); \lim_{x\to 3^{+}}f(x); \lim_{x\to 3}f(x)$

Trả lời:

a) Ta có: $x- 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3$

f(x) là hàm phân thức có tập xác định D = $\mathbb{R}$∖{3} nên nó liên tục trên các khoảng $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$.

b) Ta có:

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x+1}{x-3}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2$

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x+1}{x-3}=\lim_{x\to -\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2$

$\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}\frac{2x+1}{x-3}$

Vì $\lim_{x\to 3^{+}}(2x+1)=2.3+1=7; \lim_{x\to 3^{+}}\frac{1}{x-3}=+\infty$

Nên $\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}\frac{2x+1}{x-3}=+\infty$

$\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{2x+1}{x-3}$

Vì $\lim_{x\to 3^{-}}(2x+1)=2.3+1=7; \lim_{x\to 3^{-}}\frac{1}{x-3}=-\infty$

Nên $\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{2x+1}{x-3}=-\infty$

Bài 10: Cho điểm M thay đổi trên parabol $y = x^{2}$; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.

Tìm $\lim_{x\to +\infty}(OM-MH)$

Trả lời:

Ta có $M(x;x^{2});OM=\sqrt{x^{2}+x^{4}};MH=|x^{2}|=x^{2}$

Khi đó $\lim_{x\to +\infty}(OM-MH)=\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^{2}+x^{4}}-x^{2})$

$=\lim_{x\to +\infty}\frac{(\sqrt{x^{2}+x^{4}}-x^{2})(\sqrt{x^{2}+x^{4}}+x^{2})}{\sqrt{x^{2}+x^{4}}+x^{2}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x^{4}}+x^{2}}$

$=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}+1}=\frac{1}{2}$.

Bài 11: Chứng minh rằng phương trình $x^{5}+ 3x^{2}-1 = 0$ trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) đều có ít nhất một nghiệm.

Trả lời:

Xét hàm số $f(x) = x^{5} + 3x^{2}- 1$. Hàm số này liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta có:

$f(-2) = (-2)^{5} + 3.(-2)^{2}- 1 = -32 + 12 -1 = -21$.

$f(-1) = (-1)^{5} + 3.(-1)^{2}- 1 = -1 + 3 -1 = 1$.

$f(0) = 0^{5}+ 3.0^{2}- 1 = -1$.

$f(1) = 1^{5}+ 3.1^{2}-1 = 3$.

Do f(‒2).f(‒1) = ‒21 < 0 nên phương trình f(x) có nghiệm thuộc (‒2; ‒1).

Do f(‒1).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 0).

Do f(0).f(1) = ‒3 < 0 nên phương trình f(x) = 0có nghiệm thuộc (0; 1).

Vậy trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) phương trình f(x) = 0 hay $x^{5}+ 3x^{2}-1 = 0$ đều có ít nhất một nghiệm.

Bài 12: Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc $\alpha (0<\alpha <\frac{\pi}{2})$, rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi $S(\alpha)$ là quãng đường người đó đã di chuyển.

a) Viết công thức tính $S(\alpha)$ theo $\alpha (0<\alpha <\frac{\pi}{2})$

b) Xét tính liên tục của hàm số $y = S(\alpha)$ trên khoảng $(0;\frac{\pi}{2})$.

c) Tính các giới hạn $\lim_{x\to 0^{+}}S(\alpha)$ và $\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{+}}S(\alpha)$

Trả lời:

Kí hiệu O là tâm hình tròn.

a) Do tam giác ABC vuông tại C nên $AC = ABcos\alpha = 10cos\alpha$ (m).

Ta có $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=2\alpha$

Suy ra độ dài cung CB là $l=OB.\widehat{BOC}=5.2\alpha=10\alpha$ (m).

Quãng đường di chuyển (tính theo m) của người đó là:

$S(\alpha)=AC+l=10cos\alpha+10\alpha=10(\alpha+cos\alpha)(0<\alpha<\frac{\pi}{2})$

b) Do các hàm số $y =\alpha$ và $y = cos\alpha$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $y = S(\alpha)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Mà $(0;\frac{\pi}{2}) \subset \mathbb{R}$ nên hàm số $y = S(\alpha)$ liên tục trên $(0;\frac{\pi}{2})$

c) Ta có:

$\lim_{\alpha \to 0^{+}}S(\alpha)=\lim_{\alpha \to 0^{+}}10(\alpha +cos\alpha)=10.(0+cos0)=10.(0+1)=10$;

$\lim_{\alpha \to \frac{\pi ^{+}}{2}}S(\alpha)=\lim_{\alpha \to \frac{\pi^{+}}{2}}10(\alpha+cos\alpha)=10.(\frac{\pi}{2}+cos\frac{\pi}{2})=10.(\frac{\pi}{2}+0)=5\pi$.