BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 6: Tìm các giới hạn...

Đáp án: 

a) $\lim{\frac{3n-1}{n}}=\lim{\frac{3-\frac{1}{n}}{1}}=\lim{(3 - \frac{1}{n})}=3$
b) $\lim{\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{n}}$

= $\lim{\frac{\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}}}{1}}$

= $\lim{\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}}}=1$
c) $\lim{\frac{2}{3n+1}}=\lim{\frac{\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}}=\lim{\frac{2}{n}.\frac{1}{3+\frac{1}{n}}}=0$
d) $\lim{\frac{(n+1)(2n+2)}{n^{2}}}=\lim{\frac{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})}{1}}$

= $\lim{2(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})}=2$

Bài 7: Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác...

Đáp án: 

Gọi $u_{n}$ là độ dài cạnh của tam giác $H_{n}$
Ta có $u_{1}=a$; $u_{2}=\frac{1}{2}.a=\frac{a}{2}$; $u_{3}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}=\frac{a}{2^{2}}$; …; $u_{n}=\frac{a}{2^{n-1}}$
Chu vi: $P_{n}=3u_{n}=\frac{3a}{2^{n-1}}$

Diện tích: $S_{n}=\frac{u_{n}^{2}.\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2^{2n}}$

Tổng chu vi của các tam giác là:

$P=3a+\frac{3a}{2}+\frac{3a}{2^{2}}+…\frac{3a}{2^{n-1}}+…$

= $3a(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+…+\frac{1}{2^{n-1}}+… $

= $3a\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=6a$ 

Tổng diện tích các tam giác là:

$S =\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2^{2}}+\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2^{4}}+\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2^{6}}+…+\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2^{2n}}+…$ 

= $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2^{2}}(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{4}}+…+\frac{1}{2^{2n-2}}+…)$

= $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{1-\frac{1}{2^{2}}}$

= $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{4}{3}$

= $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}$

Bài 8: Tìm các giới hạn sau...

Đáp án: 

a) 3x2-x+2 =3x2 - x +2 =6

b) $\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{ x^{2}-16}{x-4}}$

= $\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{ (x-4)(x+4)}{x-4}}$

= $\lim_{x\rightarrow 4}{(x+4)}=8$

c) $\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{ 3-\sqrt{x+7}}{x-2}}$

= $\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{ 9-(x+7)}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})}}$

= $\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{-1}{3+\sqrt{x+7}}}=\frac{-1}{6}$

Bài 9: Tìm các giới hạn sau...

Đáp án: 

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{ -x+2}{x+1}}$

= $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{ -1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}}=-1$
b) $\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{x-2}{x^{2}}}$

= $\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}{1}}$

= $\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{1}{x}}.\lim_{x\rightarrow -\infty}{(1-\frac{2}{x})}=0$

Bài 10: Tìm các giới hạn sau...

Đáp án: 

a) $\lim_{x\rightarrow 4^{+}}{\frac{ 1}{x-4}}=+\infty$ 

Do $\lim_{x\rightarrow 4^{+}}{(x-4)}=0$ và x-4>0 khi x dần tiến tới $4^{+}$

b) $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}{\frac{ x}{2-x}}=-\infty$

Do $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}{(2-x)}=0$ và 2-x<0 khi x dần tiến tới $4^{+}$

Bài 11: Xét tính liên tục của hàm số...

Đáp án: 

+) Với $x \in (0; + \infty)$ ta có $f(x) = \sqrt{x+4}$ liên tục.

+) Với $x \in (– \infty; 0)$ ta có f(x) = 2cosx liên tục.

+) Tại x = 0, ta có:

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}{2cosx}=2$

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}{\sqrt{x+4}}=2$ 

=> $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}{f(x)}$

Vậy hàm số liên tục trên R.

Bài 12: Cho hàm số...

Đáp án: 

Để f(x) liên tục trên R thì f(x) liên tục tại x = 5. 

Hay $\lim_{x\rightarrow 5}{f(x)}=f(5)$

<=> $\lim_{x\rightarrow 5}{(\frac{x^{2}-25}{x-5})}=a$

<=> $\lim_{x\rightarrow 5}{(x+5)}=a$

<=> 10=a 

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 5 khi a = 10.

Bài 13: Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ...

Đáp án: 

Hàm số liên tục tại các điểm $t \in [0; 100]$ và $t\neq 60$

Tại t = 60:

$\lim_{t\rightarrow 60^{-}}{ T(t)}=\lim_{t\rightarrow 60^{-}}{ 10+2t}=130$

$\lim_{t\rightarrow 60^{+}}{ T(t)}=\lim_{t\rightarrow 60^{+}}{ k-3t}=k-180$

T(60)=10+2.60=130

Để hàm số liên tục trên tập xác định [0; 100] thì hàm số liên tục tại x = 60

=>130=k-180 ⬄ k=310