1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1:

a) Nêu các trường hợp có thể xảy ra đối...

Đáp án: 

a) - Hình 1a: Hai đường thẳng trùng nhau khi hai đường thẳng có vô số điểm chung

- Hình 1b: Hai đường thẳng cắt nhau khi hai đường thẳng có duy nhất một điểm chung

- Hình 1c: Hai đường thẳng song song khi hai đường thẳng không có điểm chung

b)

AB và CD không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy...

Đáp án: 

a) Ta có AB // CD (ABCD là hình bình hành)

b) Trong (SAC), ta có SA cắt SC tại điểm S.

c) Giả sử SA và BC cùng nằm trong một (P). 

=> AC nằm trong (P) => (P) chứa cả 4 điểm S, A, B, C (không hợp lí do S không đồng phẳng với A, B, C)

Vậy SA và BC không nằm trong bất kì mặt phẳng nào => SA chéo với BC.

Bài 3: Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng...

Đáp án: 

+) Hai đường thẳng b, c cắt nhau; 

+) Hai đường thẳng b, d song song;

+) Hai đường thẳng a, b chéo nhau.

2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Bài 1: 

a) Trong không gian, cho điểm M ở ngoài đường...

Đáp án: 

a) (P) = mp(M, d) nên (P) xác định duy nhất.

(Q) = mp(d, d’), mà M ∈ d’ nên (Q) = mp(M, d). 

=> Hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau.

b) Ta có: M ∈ a ⊂ (P); M ∈ b ⊂ (Q) 

=> M ∈ (P) ∩ (Q)

Nếu a và b có điểm chung M thì điểm M có thuộc c.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang...

Đáp án: 

Ta có AD // MS (ADMS là hình thang)

Trong không gian, chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua S và song song với AD nên d phải trùng SM.

Mà SM ⊂ (ADMS) nên d ⊂  (ADMS)

=> d ⊂ (SAD)

Bài 3: Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt...

Đáp án: 

Ta có: d = mp(a,c) ∩ mp(M,b)

Hay d = mp(a,c) ∩ mp(a,b) 

Mà a ⊂ mp(a, c) và mp(a, b)

=> d trùng a.

Do đó, a // b.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các...

Đáp án: 

a) Ta có ba mặt phẳng (P), (ACD), (BCD) cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt là IJ, MN và CD.

Mà IJ // CD

Nên (P) ∩ (ACD) = MN // IJ // CD.

Xét tứ giác IJMN, có MN // IJ

Vậy IJMN là hình thang có đáy là MN và IJ

b) Để IJMN là hình bình hành thì IJ = MN

Mà $IJ = \frac{1}{2} CD$ => $MN =\frac{1}{2} CD$ 

Khi đó MN là đường trung bình tam giác ACD

Vậy M là trung điểm của AC.

Bài 5: Một chiếc lều (Hình 16a) được minh...

Đáp án: 

a) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo giao tuyến song song là: (P), (Q), (R)

b) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo giao tuyến đồng quy là: (P), (Q), (S).

3. BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Cho hai đường thẳng song song a và b...

Đáp án: 

a) Mệnh đề sai vì c và b có thể chéo nhau

Ví dụ: Xét tứ diện SABC với M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Ta có AB // MN, CA cắt AB nhưng CA không cắt MN.

b) Mệnh đề sai vì c có thể cắt b

Ví dụ: Xét tứ diện SABC với M, N lần lượt là trung điểm của SA và SA. Ta có AB // MN, CA chéo với MN nhưng CA cắt AB. 

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC và điểm M thuộc...

Đáp án: 

Trong (ABC), kẻ P = AM ∩ BC. 

Ta có M∈(SAP) và MN // SA nằm trong (SAP)

 => MN⊂(SAP).

Trong (SAP), qua M vẽ đường thẳng d // SA và cắt SP tại N.

Ta có: SA//MN, C là điểm chung của (SAC) và (CMN), 

=> Giao tuyến của (SAC) và (CMN) là đường thẳng d' đi qua C và d'//SA//MN.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy...

Đáp án: 

a) Ta có: AB//CD

S là điểm chung của (SCD) và (SAB)

CD ⊂ (SCD), AB ⊂ (SAB)

=> Giao tuyến (SCD) và (SAB) là đường thẳng d đi qua S và d//AB//CD.

b) Ta có: AD//BC

BC = (BCM) ∩ (ABCD)

AD = (SAD) ∩ (ABCD

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) là MN sao cho MN// BC//AD.
Vậy tứ giác CBMN là hình thang.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành...

Đáp án: 

Gọi O = AC ∩ BD. Ta có :

I, O là trung điểm lần lượt của SD và BD 

=> IO là đường trung bình của ∆SDB => IO//SB 

Hai mặt phẳng (IAC) và (SBD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song IO,SB và có điểm chung C nên (IAC) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến Cx và Cx//SB//IO.

=> Cx//SB.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành...

Đáp án:

a) Trong (SBD), DI cắt SB tại N. Trong (SAC),CI cắt SA tại M.

Khi đó M,N lần lượt là giao điểm của SA và SB với mặt phẳng (ICD).

Ta có CD//AB => MN//AB//CD.

Gọi J là trung điểm của OB. 

Ta có IJ//SB và $IJ=\frac{SB}{2}$.

Mà $IJ=\frac{3}{4}BN$ => $BN=\frac{2}{3}SB$ và $SN=\frac{1}{3}SB$.

Mà MN//AB => $MN=\frac{AB}{3}=\frac{a}{3}$.

b) Ta có: 

(SAD) ∩ (ABCD) = AD

(SBC) ∩ (ABCD) = BC

(SAD) ∩ (SBC) = SK 

Mà AD//BC => SK//AD//BC.

Bài 6: Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau...

Đáp án: 

Hình a: Các dây điện song song với nhau

Hình b: Các mép của bờ rượng song song với nhau

Hình c: Các mép của bậc thang song song với nhau

Hình d: Các mép của phím đàn song song với nhau

Hình e: Các mép của từng ngăn kệ song song với nhau

Hình g: Các mép của viên gạch song song với nhau

Một số ví dụ khác về đường thẳng song song: Các gáy của quyền sách trong chồng sách, Các mép của chân bàn thẳng đứng,...