Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P, Q.

a) Chứng minh MN song song với PQ.

b) Gọi E là giao điểm của AM và BP, F là giao điểm của CQ và DN. Chứng minh EF song song với MN và PQ.

Trả lời:

a) ABCD là hình thang nên AD // BC

Ta có: $M \in SB$, mà $SB \subset (SBC)$ nên $M \in (SBC); M \in (ADJ)$

Do đó $M \in (ADJ) \cup (SBC)$.

Tương tự, $N \in (ADJ) \cup (SBC)$.

Suy ra $(ADJ) \cup (SBC) = MN$

Mà $AD // BC; AD \subset (ADJ); BC \subset (SBC)$;

Suy ra MN // AD // BC. (1)

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có PQ // AD // BC. (2)

Từ (1), (2) suy ra MN // PQ.

b) Ta có: $E \in AM$, mà $AM \subset (ADJ)$ nên $E\in (ADJ)$;

$E \in BP$, mà $BP \subset (IBC)$ nên $E \in (IBC)$.

Do đó $E \in (ADJ) \cup (IBC)$.

Tương tự ta cũng có $F \in (ADJ) \cup (IBC)$.

Suy ra $(ADJ) \cup (IBC) = EF$.

Mà $AD // BC, AD \subset (ADJ), BC \subset (IBC)$.

Suy ra EF // AD // BC

Lại có MN // PQ // AD // BC (chứng minh câu a)

Do đó EF // MN // PQ.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$; I; J lần lượt là trung điểm của BD, CD.

a) Chứng minh rằng MN // BC.

b) Tứ giác MNJI là hình gì. Tìm điểu kiện để tứ giác MNJI là hình bình hành.

Trả lời:

a) Xét $\Delta ABC$ có $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, suy ra MN // BC (định lý Thalès đảo).

b) Xét $\Delta BCD$ có I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD nên IJ là đường trung bình của tam giác DBC, suy ra IJ // BC.

Mà MN // BC (câu a) nên IJ // MN, do đó MNJI là hình thang.

MNJI là hình bình hành khi và chỉ khi MI // NJ // AD

Suy ra MI là đường trung bình của tam giác ADB.

Mà I là trung điểm của BD nên M là trung điểm AB.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) (SAD) và (SBC);

b) (SAB) và (MDC), với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.

Trả lời:

a) Ta có $S \in (SAD)$ và $S \in (SBC)$ nên $S \in (SAD) \cup (SBC)$,

Mặt khác, $AD \subset (SAD), BC \subset (SBC)$ và AD // BC (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra $(SAD) \cup (SBC) = d$ với d là đường thẳng đi qua S, d //AD // BC.

b) Ta có $M \in SA$, mà $SA \in (SAB)$ nên $M \in (SAB)$;

Lại có $M \in (MDC)$

Nên $M \in (SAB) \cup (MDC)$.

Ta có $AB \subset (SAB), DC \subset (MDC)$ và AB // DC (do ABCD là hình bình hành).

Suy ra $(SAB) \cup (MDC) = Mx$ với Mx // AB // DC.

Gọi N là giao điểm của SB và Mx.

Khi đó $(SAB) \cup (MDC) = MN$.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng SD.

a) Tìm các giao tuyến: $d_{1} = (SAB) \cup (SCD); d_{2} = (SCD) \cup (MAB)$.

b) Chứng minh $d_{1} // d_{2}$.

Trả lời:

a) $S \in (SAD)$ và $S \in (SBC)$ nên $S \in (SAB) \cup (SDC)$.

Mặt khác có $AB \subset (SAB), CD \subset (SDC)$ và AB // CD (do ABCD là hình thang)

Suy ra $(SAB) \cup (SCD) = d_{1}$ với $d_{1}$ là đường thẳng đi qua S và $d_{1}$ // AB // CD.

Ta có $M \in SD$, mà $SD \in (SCD)$ nên $M \in (SCD)$

Lại có $M \in (MAB)$

Suy ra $(SCD) \cup (MAB) = M$

Mặt khác có $AB \subset (MAB), CD \subset (SCD)$ và AB // CD

Suy ra $(SCD) \cup (MAB) = d_{2}$ với $d_{2}$ là đường thẳng đi qua M và $d_{2}$ // AB // CD.

b) Theo câu a, ta có $d_{1}$ // AB // CD và $d_{2}$ // AB // CD

Suy ra $d_{1} // d_{2}$.