Bài 1: Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của hàm số;

a) $f(x)=x^{3}-3x+2$ tại điểm x = -2

b) $f(x)=\sqrt{3x+2}$ tại điểm x = 0

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là D = $\mathbb{R}$, chứa điểm ‒2.

Ta có:

$f(-2) = (-2)^{3}-3.(-2) + 2 = 0$;

$\lim_{x\to -2}f(x)=\lim_{x\to -2}(x^{3}-3x+2)=(-2)^{3}-3.(-2) + 2 = 0$.

Suy ra $\lim_{x\to -2}f(x)=f(-2)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = ‒2.

b) Tập xác định của hàm số là $D = [-\frac{2}{3};+\infty)$, chứa điểm 0.

Ta có:

$f(0)=\sqrt{3.0+2}=\sqrt{2}$

$\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\sqrt{3x+2}=\sqrt{\lim_{x\to 0}(3x+2)}$ 

$=\sqrt{3\lim_{x\to 0}x+2}=\sqrt{3.0+2}=\sqrt{2}$

Suy ra $\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0.

Bài 2: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm x = 2

a) $f(x)= \left\{\begin{matrix}6-2x, x \geq 2\\2x^{2}-6, x<2\end{matrix}\right.$

b) $f(x)= \left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2\\0, x=2\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$, chứa điểm 2.

Ta có:

$\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}(6-2x)=6-2.2=2$

$\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}(2x^{2}-6)=2.(-2)^{2}-6=2$

$f(2) = 6 - 2.2 = 2$.

Suy ra $\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=f(2)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 2.

b) Tập xác định của hàm số là D = $\mathbb{R}$, chứa điểm 2.

Ta có:

$\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

$=\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2=4$

f(2) = 0

Suy ra $\lim_{x\to 2} \neq f(2)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = 2.

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f(x)=|x+1|$ tại điểm x = -1

b) $g(x)= \left\{\begin{matrix}\frac{|x-1|}{x-1}, x \neq 1\\1, x=1\end{matrix}\right.$ tại điểm x = 1

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$, chứa điểm ‒1.

Ta có:

$\lim_{x\to -1^{+}}|x+1|=\lim_{x\to -1^{+}}(x+1)=-1+1=0$

$\lim_{x\to -1^{-}}|x+1|=\lim_{x\to -1^{-}}[-(x+1)]=\lim_{x\to -1^{-}}(-x-1)=1-1=0$

$f(-−1)=|-1+1|=0$

Suy ra $\lim_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim_{x\to -1^{-}}f(x)=f(-1)$

Vậy hàm số liên tục tại x = ‒1.

b) Tập xác định của hàm số là D = $\mathbb{R}$, có chứa điểm 1.

Ta có:

$\lim_{x\to 1^{+}}g(x)=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{|x-1|}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}1=1$

$\lim_{x\to 1^{-}}g(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{|x-1|}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{1-x}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}(-1)=-1$

Suy ra $\lim_{x \to 1^{+}}g(x) \neq \lim_{x \to 1^{-}}g(x)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = ‒1.

Bài 4: Cho hàm số $f(x)= \left\{\begin{matrix}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}, x \neq 2\\a, x=2\end{matrix}\right.$

Tìm giá trị của tham số a để hàm số y = f(x) liên tục tại x = 2

Trả lời:

Ta có:

$\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}$

$=\lim_{x\to 2}\frac{x+2-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}=\lim_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}=\frac{1}{4}$

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi $\lim_{x\to 2}f(x)=f(2)$ Hay $a=\frac{1}{4}$

Vậy $a=\frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f(x)=x^{3}-x^{2}+2$

b) $f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-4x}$

c) $f(x)=\frac{2x-1}{x^{2}-x+1}$

d) $f(x)=\sqrt{x^{2}-2x}$

Trả lời:

a) f(x) là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên nó liên tục trên $\mathbb{R}$

b) Ta có: $x^{2}- 4x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0$ và $x \neq 4$.

f(x) là hàm số phân thức có tập xác định D = $\mathbb{R}$∖{0; 4} nên nó liên tục trên các khoảng $(-\infty; 0), (0; 4)$ vqr45à $(4; +\infty)$.

c) Ta có: $x^{2}-x+1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0, \forall x \in \mathbb{R}$

f(x) là hàm số phân thức có tập xác định $\mathbb{R}$ nên nó liên tục trên $\mathbb{R}$.

d) Ta có: $x^{2}-2x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 0$ và $x \geq 2$

f(x) là hàm số phân thức có tập xác định D = $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$ nên nó liên tục trên các khoảng $(-\infty; 0]$ và $[2; +\infty)$.

Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f(x)=\frac{tanx}{\sqrt{1-x^{2}}}$

b) $f(x)=\frac{1}{sinx}$

Trả lời:

a) Điều kiện: $1- x^{2} > 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1$.

Hàm số $y=\sqrt{1-x^{2}}$ xác định và liên tục trên (‒1; 1).

Hàm số y = tanx xác định và liên tục trên các khoảng $(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi)$ (với $k \in \mathbb{Z}$)

Do $(-1;1) \subset (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ nên hàm số y = tanx xác định và liên tục trên (‒1; 1).

Suy ra, hàm số $f(x)=\frac{tanx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ liên tục trên (‒1; 1).

b) Điều kiện: $sinx \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi (k \in \mathbb{Z})$

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $(k\pi;(k+1)\pi)$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Bài 7: Cho hai hàm số $f(x)=x-1$ và $g(x)=x^{2}-3x+2$. Xét tính liên tục của các hàm số:

a) $y=f(x).g(x)$

b) $u=\frac{f(x)}{g(x)}$

c) $y=\frac{1}{\sqrt{f(x)+g(x)}}$

Trả lời:

a) Ta có $y = f(x).g(x) = (x-1)(x^{2}-3x + 2)$

Hàm số trên là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên nó liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Ta có $y=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x-1}{x^{2}-3x+2}$

Ta có: $x^{2}-3x + 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$ và $x \neq 2$.

Hàm số trên là hàm số phân thức có tập xác định D = $\mathbb{R}$∖{1; 2} nên nó liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1), (1; 2)$ và $(2; +\infty)$.

c) Ta có $y=\frac{1}{\sqrt{f(x)+g(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x-1+x^{2}-3x+2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{(x-1)^{2}}}$

Ta có: $(x -1)^{2}> 0 \Leftrightarrow x \neq 1$

Hàm số trên là hàm phân thức có tập xác định D = $\mathbb{R}$\{1} nên nó liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.

Bài 8: Cho hai hàm số $f(x)= \left\{\begin{matrix}2-x, x<1\\x^{2}+x, x \geq 1\end{matrix}\right.$ và $g(x)= \left\{\begin{matrix}2x-x^{2}, x<1\\-x^{2}+a, x \geq 1\end{matrix}\right.$

Tìm giá trị của tham số a sao cho hàm số h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại x = 1

Trả lời:

Ta có: $h(x)=f(x)+g(x)= \left\{\begin{matrix}2+x-x^{2}, x<1\\x+a, x \geq 1\end{matrix}\right.$

$\lim_{x\to 1^{-}}h(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(2+x-x^{2})=2+1-1^{2}=2$

$\lim_{x \to 1^{+}}h(x)=\lim_{x \to 1^{+}}(x+a)=1+a$

$h(1)=1+a$

Hàm số h(x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi $\lim_{x\to 1^{-}}h(x)=\lim_{x\to 1^{+}}h(x)=h(1)$

$\Leftrightarrow 2=1+a \Leftrightarrow a=1$

Vậy a = 1.

Bài 9: Cho hàm số $y=f(x)= \left\{\begin{matrix}x^{2}+ax+b, |x|<2\\x(2-x), |x| \geq 2\end{matrix}\right.$

Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Trả lời:

Ta có: $y=f(x)= \left\{\begin{matrix}x^{2}+ax+b, |x|<2\\x(2-x), |x| \geq 2\end{matrix}\right.$

Suy ra: $y=f(x)= \left\{\begin{matrix}x^{2}+ax+b, -2<x<2\\x(2-x), x \leq -2;x \geq 2\end{matrix}\right.$

$\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=\lim_{x\to -2^{-}}[x(2-x)]=-2.(2+2)=-8=f(-2)$

$\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=\lim_{x\to -2^{+}}(x^{2}+ax+b)=4-2a+b$

$\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}(x^{2}+ax+b)=4+2a+b$

$\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}[x(2-x)]=2.(2-2)=0=f(2)$

Hàm số liên tục tại x = ‒2 và x = 2 khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix}\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=f(-2)\\ \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4-2a+b=-8\\4+2x+b=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2a+b=-12\\2x+b=-4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\b=-8\end{matrix}\right.$

Vậy a = 2, b = ‒8 là các giá trị cần tìm.

Bài 10: Chứng minh rằng phương trình:

a) $x^{3}+2x-1=0$ có nghiệm thuộc khoảng (-1;1)

b) $\sqrt{x^{2}+x}+x^{2}=1$ có nghiệm thuộc khoảng (0;1)

Trả lời:

a) Xét hàm số $f(x) = x^{3} + 2x – 1$ xác định trên khoảng (‒1; 1) và có:

$f(-1) = (-1)^{3} + 2.(-1) - 1 = -4$.

$f(1) = 1^{3} + 2.1 - 1 = 2$.

Do f(‒1).f(1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 1).

b) Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x^{2}+x}+x^{2}-1$ xác định trên khoảng (0; 1) và có:

$f(0)=\sqrt{0^{2}+0}+0^{2}-1=-1$

$f(1)=\sqrt{1^{2}+1}+1^{2}-1=\sqrt{2}$

Do f(0).f(1) < 0nên phương trình f(x) = 0 hay $\sqrt{x^{2}+x}+x^{2}=1$ có nghiệm thuộc (0; 1).

Bài 11: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): $x^{2}+(y-1)^{2}=1$. Với mỗi số thực m, gọi Q(m) là số giao điểm của đường thẳng d: y = m với đường trong (C). Viết công thức xác định hàm số $y=Q(m)$. Hàm số này không liên tục tại các điểm nào?

Trả lời:

Ta có: $Q(m)=\left\{\begin{matrix}0; (m < 0, m>2)\\1; (m = 0; m =2)\\2; (0<m<2)\end{matrix}\right.$

Ta có $\lim_{m\to 0^{-}}Q(m)=0;\lim_{m\to 0^{+}}Q(m)=2;f(0)=1$

nên $\lim_{m\to 0^{-}}Q(m) \neq \lim_{m\to 0^{+}}Q(m) \neq f(0)$

Do đó hàm số y = Q(m) không liên tục tại m = 0.

Tương tự ta cũng có hàm số y = Q(m) không liên tục tại m = 2.

Vậy hàm số không liên tục tại các điểm m = 0 và m = 2.

Bài 12: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc $\alpha ( 0< \alpha <\frac{\pi}{2})$

Kí hiệu diện tích tam giác ABC là $S(\alpha)$ (phụ thuộc vào $\alpha$). Xét tính liên tục của hàm số $S(\alpha)$ trên khoảng $(0;\frac{\pi}{2})$ và tính các giới hạn $\lim_{\alpha \to 0^{+}}S(\alpha), \lim_{\alpha \to \frac{\pi}{2}}S(\alpha)$

Trả lời:

Do tam giác ABC vuông tại C nên với $\alpha \in (0;\frac{\pi}{2})$ ta có:

$AC = AB.cos\alpha = 2cos\alpha$;

$BC = AB.sin\alpha = 2sin\alpha$;

$S(\alpha)=\frac{1}{2}AC.BC=\frac{1}{2}.2cos\alpha.2sin\alpha=sin2\alpha$

Do hàm số $y = sin2\alpha$ đều liên tục trên $\mathbb{R}$, mà $(0;\frac{\pi}{2}) \subset \mathbb{R}$ nên hàm số $y = S(\alpha)$ liên tục trên khoảng $(0;\frac{\pi}{2})$.

Khi đó:

$\lim_{\alpha \to 0^{+}}S(\alpha)=\lim_{\alpha \to 0^{+}}sin2\alpha=0$;

$\lim_{\alpha \to (\frac{\pi}{2})^{-}}S(\alpha)=\lim_{\alpha \to (\frac{\pi}{2})^{-}}sin2\alpha=0$.