CHƯƠNG III: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

HĐKP 1

f(x)  = lim 1=1;

       x$\rightarrow $1$^{-}$ 

lim  f(x)=lim (1+x)=2. 

x$\rightarrow $1$^{+}$    x$\rightarrow $1$^{+}$

Suy ra không tồn tại giới hạn f(x) .
f(x)  = lim 1+x=3;

         x$\rightarrow $2$^{-}$ 

lim f(x)=lim (5-x)=3. 

x$\rightarrow $2$^{+}$     x$\rightarrow $2$^{+}$  

Suy ra tồn tại giới hạn x→2  f(x)=3.
Mặt khác, f(2)=1+2=3 nên

lim f(x)=f(2).

x$\rightarrow $2

Kết luận

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x$_{0}$∈K. Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x$_{0}$ nếu f(x) =f(x$_{0}$).

Nhận xét:

Để hàm số y=f(x) liên tục tại  x$_{0}$ thì phải có cả ba điều sau

1. Hàm số xác định tại x$_{0}$

2. Tồn tại f(x) ;

3. f(x) =f(x$_{0}$)

Chú ý:

Hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm x$_{0}$ được gọi là f(x) gián đoạn tại điểm x$_{0}$ và x$_{0}$ là điểm gián đoạn của hàm số.

Ví dụ 1 (SGK -tr.81)

Thực hành 1

a) lim f(x)=lim (1-x$^{2}$)=1-3$^{2}$=-8=f(3). 

     x$\rightarrow $3      x$\rightarrow $3 

Vậy hàm số liên tục tại x$_{0}$=3.
b)   lim f(x)= lim ( -x)=-1;

      x$\rightarrow $1$^{-}$   x$\rightarrow $1$^{-}$

lim f(x)= lim (x$^{2}$+1)=2.

x$\rightarrow $1$^{+}$     x$\rightarrow $1$^{+}$ 
Suy ra không tồn tại giới hạn

lim f(x)

x$\rightarrow $1 .

Do đó, hàm số không liên tục tại x$_{0}$=1.

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN

HĐKP 2:

a) Với mọi x$_{0}$∈(1;2), ta có 

lim   f(x)=lim   (x+1)=x$_{0}$+1=f(x$_{0}$).

x$\rightarrow $x$_{0}$    x$\rightarrow $x$_{0}$ 
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x0∈(1;2).
b) lim  f(x)=lim (x+1)=2+1=3=f(2).

    x$\rightarrow $2$^{-}$      x$\rightarrow $2$^{-}$
c) lim  f(x)=lim (x+1)=1+1=2. 

     x$\rightarrow $1$^{+}$   x$\rightarrow $1$^{+}$ 

Vậy để    lim f(x)=k, ta phải có k=2.

               x$\rightarrow $1$^{+}$  

Kết luận

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và

lim f(x)=f(a), lim f(x)=f(b).

x$\rightarrow $a$^{+}$           x$\rightarrow $b$^{-}$

Nhận xét:

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=0.

Ví dụ 2 (SGK -tr.82)

Thực hành 2
Với mọi x$_{0}$∈(1;2), ta có:

lim  f(x)= lim ($\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$)= lim  $\sqrt{x-1}$+ lim $\sqrt{2-x}$= $\sqrt{x_{0}-1}$+$\sqrt{2-x_{0}}$=f(x$_{0}$). 

x$\rightarrow $x$_{0}$     x$\rightarrow $x$_{0}$               x$\rightarrow $x$_{0}$     x$\rightarrow $x$_{0}$     

Do đó, hàm số liên tục tại mọi điểm x$_{0}$∈(1;2).
Ta lại có:

lim f(x) = lim  ($\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$)=lim $\sqrt{x-1}$+lim $\sqrt{2-x}$=$\sqrt{1-1}$+$\sqrt{2-1}$=1=f(1)

x$\rightarrow $1$^{+}$     x$\rightarrow $1$^{+}$              x$\rightarrow $1$^{+}$    x$\rightarrow $1$^{+}$ . 

Tương tự,   lim f(x)=f(2).

                   x$\rightarrow $2$^{-}$ 

Từ đó, hàm số liên tục trên [1:2].
Vận dụng 1

b) Ta cần tìm k để hàm số liên tục tại x=400.

Để P(x) liên tục tại x=400, ta phải có 1600+k=1800 suy ra k=200.

3. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SƠ CẤP

HĐKP 3

a) Hàm số y=f(x)=$\frac{1}{x-1}$ có tập xác định là (-∞;1)∪(1;+∞);
Hàm số y=g(x)=$\sqrt{4-x}$ có tập xác định là (-∞;4].
b) 

+) Với x$_{0}$≠1, ta có 

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x≠1. 

Suy ra hàm số liên tục trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).
+) Tương tự, chỉ ra được hàm số y=g(x)=$\sqrt{4-x}$ liên tục trên khoảng (-∞;4].

Vì với x$_{0}$∈(-∞;4), ta có 

Kết luận

- Hàm số đa thức y=Px và các hàm số y=sin⁡x,y=cos⁡x liên tục trên R.

- Hàm phân thức y=$\frac{P(x)}{Q(x)}$ ,  hàm y=$\sqrt{P(x)}$, các hàm số y=tan⁡x,y=cot x liên tục trên tập xác định của chúng.

(Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức).

Nhận xét:

Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.

Ví dụ 3 (SGK -tr.83)

Thực hành 3:
Hàm số y=$\sqrt{x^{2}-4}$ là hàm số căn thức, có tập xác định (-∞;-2]∪[2;+∞). 

Suy ra hàm số liên tục trên các khoảng (-∞;-2] và [2;+∞).
Thực hành 4

Do hàm số y=f(x)=$\frac{x^{2}-2x}{x}$ là hàm phân thức xác định khi x≠0 nên f(x) liên tục tại mọi điểm x≠0. 

Ta có 

Vận dụng 2

+) Hàm số liên tục trên các khoảng (0;0,7),(0,7;20) và (20;+∞).

+) Xét hàm số liên tục tại x = 0,7.

Do đó, hàm số liên tục tại x=0,7.

+) Xét hàm số liên tục tại x = 20

=10000+(20-0,7),14000

=280200=T(20)

Do đó, hàm số liên tục tại x=20.
Vậy hàm số liên tục trên (0;+∞).

4. TỔNG, HIỆU TÍCH THƯƠNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

HĐKP 4

=f(2)+g(2).
Suy ra hàm số y=f(x)+g(x) liên tục tại điểm x=2.
Kết luận

Cho hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x$_{0}$. Khi đó:

+ Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x) và y=fx.g(x) liên tục tại x$_{0}$;

+) Hàm số y=$\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại x$_{0}$ nếu g(x$_{0}$)≠0.
Ví dụ 4 (SGK -tr.84)

Thực hành 5

a) Hàm số xác định trên R. Do các hàm số y=$\sqrt{x^{2}+1}$ và y=3-x liên tục trên R nên hàm số đã cho liên tục trên R.
b) Tập xác định: D=(-∞;0)∪(0;+∞). Hàm số y=$\frac{x^{2}-1}{x}$ liên tục tại mọi điểm x≠0 và hàm số y=cos⁡x liên tục trên R nên hàm số đã cho liên ṭ̣ục tại mọi điểm x≠0 (hay liên tụ̣c trên các khoảng (-∞;0) và (0;+∞).

Vận dụng 3

a) S(x)=2S△OMN=2⋅$\frac{1}{2}$,OM⋅MN=x$\sqrt{1-x^{2}}$ với -1<x<1.
b) Hàm số liên tục trên (-1;1)

Vì hàm số y=x và y=$\sqrt{1-x^{2}}$ đều liên tục trên (-1;1)

c)