BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

KP1 trang 80 sgk toán 11 CTST

Cho hàm số có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm x₀ = 1 và x₀ = 2, có tồn tại giới hạn không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x₀) không?

Đáp án chuẩn:

;  

=> Không tồn tại giới hạn
;  

=> Tồn tại giới hạn
Mặt khác, nên

TH1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x) = tại điểm = 3;

b) tại điểm = 1.

Đáp án chuẩn:

a) Hàm số liên tục tại
b) Hàm số không liên tục tại

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN

KP2 : Cho hàm số

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm x0 ∈ (1; 2).

b) Tìm và so sánh giá trị này với f(2).

c) Với giá trị nào của k thì =k?

Đáp án chuẩn:

a) Hàm số liên tục tại mọi điểm
b)
c)

TH2: Xét tính liên tục của hàm số y= trên [1; 2]

Đáp án chuẩn:

Hàm số liên tục trên [1:2]

VD1: Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của x (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:

(k là một hằng số).

a) Với k = 0, xét tính liên tục của hàm số P(x) trên (0; +∞).

b) Với giá trị nào của k thì hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞)?

Đáp án chuẩn:

a) không liên tục tại .
b)

3. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ SƠ CẤP

KP3: Cho hai hàm số và  

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.

b) Mỗi hàm số liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.

Đáp án chuẩn:

a) Hàm số có tập xác định là ;
Hàm số có tập xác định là .
b) Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng và .
Hàm số liên tục trên khoảng

TH3: Xét tính liên tục của hàm số

Đáp án chuẩn:

Hàm số liên tục trên các khoảng và
TH4: Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ

Đáp án chuẩn:

VD2: Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

Xét tính liên tục của hàm số T(x).

Đáp án chuẩn:

+) Hàm số liên tục trên các khoảng và

+) Hàm số liên tục tại

+) Hàm số liên tục tại
Như vậy hàm số liên tục trên

4. TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

KP4: Cho hai hàm số y=f(x)= và g(x) = . Hàm số y = f(x) + g(x) có liên tục tại x = 2 không? Giải thích.

Đáp án chuẩn:

Hàm số liên tục tại điểm

TH5: Xét tính liên tục của hàm số:

1. +

2. . cos x

Đáp án chuẩn:

a) Hàm số liên tục trên nên hàm số đã cho liên tục trên
b) Hàm số liên tục tại mọi điểm và hàm số liên tục trên nên hàm số đã cho liên ṭ̣c tại mọi điểm  

VD3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ x (– 1 < x < 1) và cắt đường tròn (C) tại các điểm N và P (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức S(x) biểu thị diện tích của tam giác ONP.

b) Hàm số y = S(x) có liên tục trên (– 1; 1) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn và

Đáp án chuẩn:

a) với .
b) Hàm số liên tục trên (-1;1)

c)

5. BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số sau:

1. f(x) = tại điểm x = 0;

2. f(x) = tại điểm x = 1.

Đáp án chuẩn:

a) Hàm số y = f(x) liên tục tại x = 0

b) Hàm số không liên tục tại

Bài tập 2: Cho hàm số f(x) = Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Đáp án chuẩn:

Bài tập 3: Xét tính liên tục của hàm số sau:

1. f(x) =

2. g(x) =

3. h(x) = cosx + tanx.

Đáp án chuẩn:

a) và
b)
c) Mọi điểm với

Bài tập 4: Cho hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = . Xét tính liên tục của hàm số y = f(x).g(x) và y =

Đáp án chuẩn:

Hàm số liên tục trên

Bài tập 5: Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

C(x) =

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Đáp án chuẩn:

Hàm số gián đoạn tại các điểm và liên tục tại các điểm còn lại của khoảng

Bài tập 6: Lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là F(r) = trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên (0; +∞) không?

Đáp án chuẩn:

hàm số liên tục trên