BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

KP1: Xét hàm số y= f(x) =

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi x càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, M là điểm trên đồ thị hàm số y = f(x); H và P lần lượt là hình chiếu của M trên trục hoành và trục tung. Khi điểm H thay đổi gần về điểm (1; 0) trên trục hoành thì điểm P thay đổi như thế nào?

Đáp án chuẩn:

a) Khi càng tiến gần đến 1 thì giá trị của hàm số càng gần đến 4 

b) Điểm càng gần đến điểm  

TH1: Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn:

a)

b)

2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ

KP2: Cho hai hàm số  y = f(x) = 2x và y = g(x) =

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞. Tìm giới hạn lim[f(x_n) + g(x_n)]

b) Từ đó, tìm giới hạn , và so sánh với

Đáp án chuẩn:

a)

b) =

TH2: Tìm các giới hạn sau:

a)

b)

Đáp án chuẩn:

a)

b)

3. GIỚI HẠN MỘT PHÍA

KP3: Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giá cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử (xn) là dãy số bất kì sao cho xn ∈ (1; 2,5) và lim xn = 1. Tìm lim f(xn).

b) Giả sử là dãy số bất kì sao cho và . Tìm c) Nhận xét về kết quả ở a) và b).

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

TH3: Cho hàm số

Tìm các giới hạn , và (nếu có).

Đáp án chuẩn:

; ;

4. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

KP4: Cho hàm số = có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới +∞)?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới – ∞)?

Đáp án chuẩn:

a) 

=> Giá trị của dần về 0 khi dần tới

b) 

=> Giá trị của dần về 0 khi dần tới

TH4:Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn:

a)

b)

VD1: Một cái hồ đang chứa 200m³ nước mặn với nồng độ muối 10kg/m³. Người ta ngọt hóa nước hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 2m³/phút.

a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.

b) Tìm giới hạn và giải thích ý nghĩa.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

5. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

KP5: Cho hàm số f(x) = có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên trái?

Đáp án chuẩn:

a) 

Nhận xét: Giá trị của trở nên rất lớn khi dần tới 1 phía bên phải.

b) 

Nhận xét: Giá trị của trở nên rất bé (giá trị của trở nên rất lớn) khi dần tới 1 phía bên trái.

TH5: Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn:

a)
b)

VD2: Xét tình huống ở hoạt động khởi động đầu bài học. Gọi x là hoành độ điểm H. Tính diện tích S(x) của hình chữ nhật OHMK theo x. Diện tích này thay đổi như thế nào khi x → 0+ và khi x → +∞.

Đáp án chuẩn:

6. BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1:Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn:

a) 22 
b)
c)

Bài tập 2: Cho hàm số

Tìm các giới hạn sau: ; ; (nếu có).

Đáp án chuẩn:

; Không tồn tại

Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn:

a)  
b)
c)

Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn:

a)
b)
c)

Bài tập 5: Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là (gam/lít)

b) Nồng độ muối như thế nào nếu t → +∞

Đáp án chuẩn:

a) (gam/lít)

b) (gam/lít)

Bài tập 6: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức + = hay  d’ =

Xét hàm số g(d) = . Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

Đáp án chuẩn:

a) .

Nghĩa là khi vật dần đến tiêu điểm vật từ phía xa kính đến gần kính hơn thì khoảng cách từ ảnh (thật) đến kính dần đến

b)

Nghĩa là khi khoảng cách từ vật đến kính dần đến thì ảnh dần đến tiêu điểm ảnh