BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

KP1: Cho dãy số với

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với n như thế nào thì |u_n| bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?

Đáp án chuẩn

a)

b) khi khi .

c) Khoảng cách từ đến 0 càng bé khi n càng lớn

TH1: Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn

a)  

b)

KP2: Cho dãy số với

a) Cho dãy số (v_n) với v_n = u_n – 2. Tìm giới hạn lim v_n.

b) Biểu diễn các điểm u₁, u₂, u₃, u₄ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm u_n khi n trở nên rất lớn?

Đáp án chuẩn

a)

b)

Nhận xét: Điểm càng dần đến điểm 2 khi n trở nên rất lớn.

TH2: Tìm các giới hạn sau:

a)

b)

Đáp án chuẩn

a)

b)

2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

KP3: Ở trên ta đã biết = 1

a) Tìm các giới hạn lim 3 và

b) Từ đó, nêu nhận xét về

Đáp án chuẩn

a)

b)

TH3 :Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn

a)

b)

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

KP4: Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

b) Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

c) Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Đáp án chuẩn

a) ,

b)

c) => Giới hạn này bằng diện tích của hình vuông ban đầu.

TH4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Đáp án chuẩn

VD1 : Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn.

Đáp án chuẩn

1. 
2. S

3.  S

   4. GIỚI HẠN VÔ CỰC

   KP5: Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu u_n (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

   Đáp án chuẩn

   

   a) ; .

   b) Với thì (n