BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1: Thả một dây dọi AO chạm sàn nhà tại điểm O…

Đáp án chuẩn: 

a) vuông góc với ,

b) Dây dọi vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng sàn nhà.

Bài 2: Cho đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b trong mặt phẳng (P). Xét một đường thẳng c bất kì trong (P) (c không song song với a và b). Gọi O là giao điểm của d và (P). Trong (P) vẽ qua O ba đường thẳng lần lượt song song với a, b, c. Vẽ một đường thẳng cắt a′, b′, c′ lần lượt tại B, C, D. Trên d lấy hai điểm E, F sao cho O là trung điểm của EF (Hình 4).

1. Giải thích tại sao hai tam giác CEB và CFE bằng nhau.
2. Có nhận xét gì về tam giác DEF? Từ đó suy ra góc giữa d và c.

Đáp án chuẩn: 

a) (c.c.c)

b)

Bài 3:

a) Trong không gian, cho điểm O và đường thẳng d. Gọi a, b là hai đường thẳng phân biệt đi qua O và vuông góc với d (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mp (a, b) ?

b) Trong không gian, cho điểm O và mặt phẳng (P). Gọi (Q) và (R) là hai mặt phẳng đi qua (O) và lần lượt vuông góc với hai đường cắt nhau a, b nằm trong (P) (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng (P) và giao tuyến d của (Q), (R) ?

Đáp án chuẩn: 

a) vuông góc với

b) vuông góc với

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần luợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD. Chứng minh rằng:

a) CB ⊥ (SAB) và CD ⊥ (SAD) ;

b) HK ⊥ AI .

Đáp án chuẩn: 

a) và => (SAB)

và =>  

b) Có ( . Mặt khác, ta có

=> .

Bài 5: Làm thể nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất? 

Đáp án chuẩn: 

Dựng cột chống vuông góc với hai đoạn thẳng cắt nhau nằm trên sàn nhà.

2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Nêu nhận xét về vị trí tương đối của:

a) Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất.

b) Mặt bàn và mặt đất cùng vuông góc với chân bàn.

c) Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà cùng vuông góc với cột nhà.

Đáp án chuẩn: 

a) Hai thân cây song song

b) Mặt đất song song với mặt bàn

c) Thanh xà song song với mặt sàn nhà.

Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) và có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC. Vẽ OH là đường cao của tam giác OBC. Chứng minh rằng:

a) OA ⊥ (A ′B′C′) ;

b) B′ C′ ⊥ (OAH ).

Đáp án chuẩn: 

a) Ta có: ; => . 

b) và => .

Ta lại có , suy ra .

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông với AB là cạnh góc vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cho M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, AB, CD, SC. Chứng minh rằng:

a) AB ⊥ (MNPQ);

b) MQ ⊥ (SAB) .

Đáp án chuẩn: 

a) Ta có AB vuông góc với hai đường thẳng MN và NP cắt nhau cùng thuộc (MNPQ) nên

b) Ta có MQ vuông góc với hai đường thẳng SA và AB cắt nhau cùng thuộc (SAB) nên MQ⊥(SAB).

Bài 4: Một kệ sách có bốn trụ chống và các ngăn làm bằng các tấm gỗ (Hình 18). Làm thể nào dùng một êke để kiểm tra xem các tấm gỗ có vuông góc với mỗi trụ chống và song song với nhau hay không? Giải thích cách làm.

Đáp án chuẩn: 

Dùng êke để kiểm tra tính vuông góc giữa trụ chống với hai đường cắt nhau trên tấm gỗ.

3. Phép chiếu vuông góc

Bài 1: Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm M trên trần nhà và đánh dấu điểm M′ nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng MM′ với mặt sàn? 

Đáp án chuẩn: 

Đường thẳng MM’ vuông góc với mặt sàn.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm C, đường thẳng CD và tam giác SCD trên mặt phẳng (SAB).

Đáp án chuẩn: 

Chứng minh hình chiếu vuông góc của C lên (SAB) là điểm B; hình chiếu vuông góc của D lên (SAB) là điểm A

=> Hình chiếu vuông góc của CD lên (SAB) là AB; hình chiếu vuông góc của tam giác SCD lên (SAB) là tam giác SAB.

Bài 3:  Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không thuộc (P) và không vuông góc với (P). Lấy hai điểm A, B trên b và gọi A′, B′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (P).

a) Xác định hình chiếu b′ của b trên (P).

b) Cho a vuông góc với b, nêu nhận xét về vị tri tương đối giữa:

i) đường thẳng a và mp (b, b′) ;

ii) hai đường thẳng a và b′ .

c) Cho a vuông góc với b′ , nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng a và mp (b, b′) ;

ii) giữa hai đường thẳng a và b

Đáp án chuẩn: 

a) đi qua hai điểm và ;

b) i) vuông góc với ; 

ii) vuông góc với ;

c) i) vuông góc với ; 

ii) vuông góc với .

Bài 4: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng qua O và vuông góc với (ABC) tại H. Chứng minh AH ⊥ BC.

Đáp án chuẩn: 

Vì nên

nên AH là hình chiếu vuông góc của OA trên (ABC) mà

=>  .

Bài 5: Nếu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng AB trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi.

Đáp án chuẩn: 

Buộc hai dây dọi vào hai đầu A, B của đoạn thẳng AB. Đánh dấu điểm A’ và B’ là chỗ hai quả dọi tiếp đất. Ta có A’B’ là hình chiếu của AB.

4. Bài tập

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD). Cho biết ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2AD.

a) Chứng minh CD ⊥ (SAD) .

b) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh CM ⊥ (SAB) 

Đáp án chuẩn: 

a) (1); (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

b) là hình bình hành (3).

Từ (2) và (3) => là hình chữ nhật, suy ra (4)

Có: (5).

Từ (4) và (5) suy ra .

Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) AC ⊥ (SHK) 

b) CK ⊥ (SDH) 

Đáp án chuẩn: 

a) (1); (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

b) (3); (4)

Từ (3) và (4) suy ra (SDH).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a√2a2 , có các cạnh bên đều bằng 2a .

a) Tính góc giữa SC và AB .

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) 

Đáp án chuẩn: 

a) .

b) Hình chiếu vuông góc của tam giác trên mặt phẳng là tam giác có diện tích bằng .

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC =a, ˆASB=90°,ASB^=90°, ˆBSC=60°BSC^=60° và ˆASC=120°ASC^=120° . Gọi I là trung điểm cạnh AC . Chứng minh SI ⊥ (ABC) .

Đáp án chuẩn: 

Chứng minh vuông cân tại .

Ta có và , suy ra .

Bài 5: Một cái lều có dạng hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có cạnh bên AA′ vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết AB = AC = 2,4 m; BC = 2 m; AA′ = 3 m

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AA′ và BC; A ′B′ và AC.

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB′ trên mặt phẳng 

(BB ′CC′ ) .

Đáp án chuẩn: 

a) .

b) Hình chiếu vuông góc của tam giác trên mặt phẳng là tam giác có diện tích bằng