BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG

1. CẤP SỐ CỘNG

KP1: Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

a) 2; 5; 8; 11; 14 (xem Hình 1).

b) 2; 4; 6; 8.

c) 5; 10; 15; 20; 25.

Đáp án chuẩn: 

Số liền sau bằng tổng của số liền trước với một số không đổi.

TH1: Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó.

a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.

b) Dãy số (u_n) với u_n = 9n – 9.

c) Dãy số (v_n) với v_n = an + b, trong đó a và b là các hằng số.

Đáp án chuẩn: 

a) d = 4

b) d = 9

c) d = a

TH2: Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó

Đáp án chuẩn: 

VD1: Mặt cắt của một tổ on có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quang vòng 2, cứ thế tiếp tục (Hình 2). Số ô trên các vòng theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp số cộng này.

Đáp án chuẩn: 

 ác ô trên vòng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai là 6.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG

KP2: Cho cấp số cộng (u_n). Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai d của (u_n) : u₂ – u₁; u₃ – u₁; u₄ – u₁; ...; u_n – u₁.

Đáp án chuẩn: 

; ; ;

TH3: Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng (a_n) có a₁ = 5 và d = – 5;

b) Cấp số cộng (b_n) có b₁ = 2 và b₁₀ = 20.

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

VD2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (c_n) có c₄ = 80 và c₆ = 40.

Đáp án chuẩn: 

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG

KP3: Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d.

a) Tính các tổng u_n + u₁; u₂ + u_n-1; u₃ + u_n-2; ...; u_k + u_n-k+1 theo u₁, n và d.

b) Chứng tỏ rằng

Đáp án chuẩn: 

a) ;

;

b)

TH4: 

1. Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.

2. Cho cấp số cộng (u_n) có u₃ + u₂₈ = 100. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
3. Cho cấp số cộng (v_n) có S₆ = 110. Tính S₂₀.

Đáp án chuẩn: 

a)

b) ;

c)

VD3: Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế, ... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình 4).

Đáp án chuẩn:

a)

b)

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; – 3; – 7; – 11; – 15.

Đáp án chuẩn:

Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với nên dãy số là một cấp số cộng.

Bài tập 2: Cho (u_n) là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = – 10. Viết công thức số hạng tổng quát u_n.

Đáp án chuẩn:

Bài tập 3: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = – 3 và công sai d = 2.

a) Tìm u₁₂;

b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Đáp án chuẩn:

a)
b)  

Bài tập 4 : Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

1. u_n = 3 – 4n;

2. u_n = - 4;

3. u_n = 5ⁿ;

4. u_n =

Đáp án chuẩn:

a) là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .
b) là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .
c) không phải là cấp số cộng 
d) là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .

Bài tập 5 : Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u_n), biết:

Đáp án chuẩn:

a)
b)
c)

Bài tập 6: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm, ..., 31 cm.

a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Đáp án chuẩn:

a) bậc
b)

Bài tập 7: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy xa khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dủ lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144; ... (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).

a) Tính công sai của cấp số cộng trên.

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.

Đáp án chuẩn:

a) .
b) (feet)

Bài tập 8: Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy định kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?

Đáp án chuẩn:

cm