BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 

1. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

KP1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN không đồng phẳng. Tìm số giao điểm của mặt phẳng (ABCD) lần lượt với các đường thẳng MN, MA và AC.

Đáp án chuẩn: 

• MN: 0

• MA: 1

• AC: vô số giao điểm

TH1: Cho E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC của tứ diện ABCD. Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng BC, AD và EF với mặt phẳng (BCD).

Đáp án chuẩn: 

2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG

KP2: Cho đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nằm trong (P). Đặt (Q) = mp(a, b).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

b) Giả sử a có điểm chung M với (P) thì điểm M phải nằm trên đường thẳng nào? Điều này có trái với giả thiết a//b hay không?

Đáp án chuẩn: 

a) Giao tuyến của (P) và (Q) là b

b) Điểm M phải nằm trên đường thẳng b. Điều này trái với giả thiết a//b

TH2: Cho hình chóp S.ABC có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tìm các đường thẳng lần lượt nằm trong, cắt, song song với mặt phẳng (ABC).

Đáp án chuẩn: 

SA, SB, SC cắt mặt phẳng (ABC)

AB, BC, CA nằm trong mặt phẳng (ABC)

A'B', B'C', C'A' song song với mặt phẳng (ABC)

VD1: Hãy chỉ ra trong Hình 9 các đường thẳng lần lượt nằm trong, song song, cắt mặt phẳng sàn nhà.

Đáp án chuẩn: 

a nằm trong (P), c // (P); (b) cắt (P)

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

KP3: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b (Hình 10). Trong (Q), hai đường thẳng a, b có bao nhiêu điểm chung?

Đáp án chuẩn: 

a và b không có điểm chung

KP4: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Lấy một điểm M trên a, vẽ đường thẳng b’ đi qua M và song song với b. Đặt (P) là mặt phẳng đi qua a, b’.

a) Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa b và (P).

b) Gọi (P’) là mặt phẳng chứa a và song song với b. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa b’ và (P’); (P) và (P’)?

Đáp án chuẩn: 

a)

b) ; (P) và (P') trùng nhau

TH3: Cho hình chóp S.ABC có ABCD là hình bình hành và M, N, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, SA (Hình 17). Chứng minh rằng:

a) MN song song với hai mặt phẳng (SBC) và (SAD);

b) SB và SC song song với mặt phẳng (MNE).

Đáp án chuẩn: 

a) Do nên ; Do nên

b) Vì ME//SB mà nên

Vì OE//SC mà nên

VD2: Làm thế nào để đặt cây thước kẻ a để nó song song với các trang của một cuốn sách?

Đáp án chuẩn: 

Đặt mép thước kẻ a // đường thẳng gáy sách

4. BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Chứng minh đường thẳng OM song song với hai mặt phẳng (SAD) và (SBD).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMD) và (SAD).

Đáp án chuẩn: 

a) . Lại có không nằm trong mặt phẳng và // nằm trong => .

cmtt, .

b) Giao tuyến của với (SAD) là đường thẳng đi qua điểm và

Bài tập 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùn một mặt phẳng. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF.

a) Chứng minh đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (CDEF), (ADF) và (BCE).

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và BE. Chứng minh MN // (CDFE).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD)

Đáp án chuẩn: 

a) Chứng minh

=> song song với các mặt phẳng và .

b) Chứng minh =>

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và

Bài tập 3: Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm (M) di động trên cạnh (AD). Một mặt phẳng qua (M), song song với CD và SA, cắt BC,SC,SD lần lượt tại N,P,Q.

1. MNPQ là hình gì?

2. Gọi I = MQ NP. Chứng minh rằng I luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên AD.

Đáp án chuẩn:

a) là hình thang.

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng cố định đi qua và . 

Mà là điểm chung của hai mặt phẳng và

=> luôn thuộc đường thẳng cố định

Bài tập 4: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) với các cạnh AC, CD và DB.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?

Đáp án chuẩn:

a) Có ; => là hình bình hành.

b) là hình thoi khi và là trung điểm của

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD, (P) là mặt phẳng qua M song song với SA và BC. Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD.

Đáp án chuẩn:

Các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là

Bài tập 6: Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng a, b, c, d, e với mặt phẳng (P) là mặt trước của tòa nhà (Hình 19).

Đáp án chuẩn:

//; cắt mặt phẳng ; nằm trong mặt phẳng