BÀI 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ 

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

KP1: Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác. Sử dụng định nghĩa của các giá trị lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:

a) Giá trị sint và cost

b) Giá trị tant ( nếu t ≠+k, k ∈Zvà cott (nếu t≠kπ,k∈Z)

Đáp án chuẩn:

a) Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất.

b) tan

=> và là các hàm số.

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

KP2: Xét hai hàm số , y = 2x và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp, nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và -1, 2 và -2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Đáp án chuẩn:

a) đồ thị hàm số đối xứng qua trục

b) đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ

TH1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ

Đáp án chuẩn:

+) Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì và => là hàm số lẻ

+) Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì , , cũng có nghĩa là . Hơn nữa, => là hàm số lẻ

KP3: Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi x∈R

Đáp án chuẩn:

=  

TH2: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx

Đáp án chuẩn:

Hàm số là hàm số tuần hoàn 

Hàm số là hàm số tuần hoàn 

3. ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

KP4: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Đáp án chuẩn:

KP5: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Đáp án chuẩn:

 TH3: Cho hàm số y = cos x với

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tại các điểm nào thì giá trị hàm số lớn nhất?

c) Tìm các giá trị của x thuộc sao cho

Đáp án chuẩn:

a) 

b) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là

c)  

VD1: Li độ s (cm) của một con lắc...Li độ s (cm) của một con lắc đồng hộ theo thời gian t (giây) được cho bởi hàm số $s = 2cos\pi t$. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 3 giây đầu thì con lắc có li độ lớn nhất

Đáp án chuẩn:

hoặ .

KP6: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Đáp án chuẩn:

KP7: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Đáp án chuẩn:

TH4: Cho hàm số với và

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Có bao nhiêu giá trị x mà tại đó giá trị hàm số đã cho bằng 2?

Đáp án chuẩn:

a) 

b) Hai giá trị x mà tại đó giá trị hàm số bằng 2

VD2: Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 10. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến $0^{o}$ làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ (-90<<90) được cho bởi hàm số y = 20tan (cm). Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo 20cm trên bản đồ.

Đáp án chuẩn:

Các điểm nằm ở vĩ độ Bắc và Nam 

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1: Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?

a)

b)

c)

Đáp án chuẩn:

a) Hàm số chẵn 

b) Không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ

c) Hàm số lẻ 

Bài tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y =

b) y = tan (x+)

c) y =

Đáp án chuẩn:

a) .

b) .

c) .

Bài tập 3: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cos + 1

Đáp án chuẩn:

Bài tập 4: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, xác định các giá trị x∈ thỏa mãn

Đáp án chuẩn:

hoặc

Bài tập 5: Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α= (Ox, OM) theo hàm số vx=0,3sinα (m/s) (Hình 11).

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của v_x

b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên (0≤α≤2α), góc α ở trong các khoảng nào thì v_x tăng.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài tập 6: Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12)

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α=(OA,OG)

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài tập 7: Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác (Tx, TA) (0<α<π).

a) Biểu diễn tọa độ x_H của điểm H trên trục Tx theo α

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với thì xH nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Đáp án chuẩn:

a) .
b)