CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

HĐKP 1

a) Với mỗi số thực t, góc lượng giác t rad được biểu diễn bởi một điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác, mỗi điểm như vậy đều có một tung độ và một hoành độ duy nhất, chính là sin⁡t và cos⁡t. 

Do đó xác định duy nhất giá trị sin⁡t và cos⁡t.

b) Với t≠$\frac{\pi }{2}$+kπ,k∈Z thì cos⁡t≠0. Vì xác định duy nhất giá trị cos⁡t và sin t nên cũng xác định duy nhất giá trị tan t=$\frac{sint}{cost}$.

Với t≠π+kπ,k∈Z thì sin⁡t≠0. Vỉ xác định duy nhất giá trị cos⁡t và sin t nên cũng xác định duy nhất giá trị cot⁡t=$\frac{cost}{sint}$.

Như vậy y=sin⁡t,y=cos⁡t,y=tan⁡t và y=cot⁡t là các hàm số.

Kết luận

- Hàm số sin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x , kí hiệu y=sinsinx.

- Hàm số côsin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x , kí hiệu y=coscosx.

- Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức

y=$\frac{sinsinx}{coscosx}$ với  x≠$\frac{\pi }{2}$+kπk∈Z, kí hiệu y=tan x.

- Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức

y=$\frac{coscosx}{sinsinx}$ với  x≠π+kπk∈Z, kí hiệu y=cot x.

Nhận xét

- Tập xác định của hàm số y=sinsinx   và y=cos x  là R.

- Tập xác định của hàm số y=tantanx là D=R\{$\frac{\pi }{2}$+kπ|k∈Z}

- Tập xác định của hàm số y=cotcotx   là D=R\{kπ|k∈Z}.

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

HĐKP 2

a) y(-1)=y(1) và y(-2)=y(2). 

Quan sát Hình 2a, ta thấy đồ thị hàm số y=x$^{2}$ đối xứng qua trục Oy. Điều này có được vì giá trị hàm số y=x$^{2}$ tại x và -x là bằng nhau với mọi x∈R.

b) y(-1)=-y(1) và y(-2)=-y(2). Quan sát Hình 2b, ta thấy đồ thị hàm số y=2x đối xúng qua gốc tọa độ O. Điều này có được vì giá trị hàm số y=2x ại x và -x là đối nhau với mọi x∈R.

Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) có tập xác định là D.

+ Hàm số  y=f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi  x∈D ta có -x∈D và f(-x)=f(x). 

+ Hàm số  y=f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi  x∈D ta có -x∈D và f(-x)=-f(x).

Nhận xét

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Ví dụ 1 (SGK -tr.27)

Thực hành 1

+) Hàm số y=sin⁡x có tập xác định là R. 

Với mọi x∈R thì -x∈R và sin⁡(-x)=-sin⁡x.

Do đó y=sin⁡x là hàm số lẻ.

+) Hàm số y=cot⁡x có tập xác định là R∖{kπ∣k∈Z). 

Với mọi x≠kπ,k∈Z thì -x≠-kπ, k∈Z, cũng có nghĩa là -x≠kπ,k∈Z. Hơn nũa, cot⁡(-x)=-cot⁡x. Do đó y=cot⁡x là hàm số lẻ.

b) Hàm số tuần hoàn

HĐKP 3

T bằng 2π hoặc một bội bất kì khác của 2π. Như vậy giá trị của hàm số sin lặp lại trên từng đoạn có độ dài 2π.

Kết luận

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn  nếu tồn tại T≠0 sao cho: với mọi x∈D, ta có x±T∈D và f(x+T)=f(x),∀x∈D.

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn y = f(x).

Chú ý:

Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kì T được lặp lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T.

Ví dụ 2 (SGK -tr.27)

Thực hành 2

Hàm số y=cos⁡x là hàm số tuần hoàn vì với mọi x∈R ta có x+2π∈R và cos⁡(x+2π)=cos⁡x.

Hàm số y=cot⁡x là hàm số tuần hoàn vì với mọi x∈R∖{kπ∣k∈Z} ta có

x+π∈R∖{kπ∣k∈Z} và cot⁡(x+π)=cot⁡x.

Chú ý:

a) Các hàm số y=sinsin x  và y=coscos x  là các hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

b) Các hàm số y=tantan x  và y=cotcot x  là các hàm số tuần hoàn với chu kì π.

3. ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

a) Hàm số y=sin x

HĐKP 4 (Bảng dưới)

Kết luận

• TXĐ: D=R.

• Tập giá trị: [-1;1].

• Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

• Là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

• Đồng biến trên mỗi khoảng (-$\frac{\pi }{2}$+k2π;$\frac{\pi }{2}$+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng ($\frac{\pi }{2}$+k2π;$\frac{3\pi }{2}$+k2π,k∈Z).

b) Hàm số y=cos x

HĐKP 5 (bảng dưới)

Kết luận

• TXĐ: D=R.

• Tập giá trị: [-1;1].

• Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Là hàm số chẵn và đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.

•  Đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π;k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng )k2π;π+k2π,k∈Z).

Ví dụ 3 (SGK -tr.29)

Thực hành 3

a) Ta có đồ thị hàm số y=coscos x  với x∈[-$\frac{\pi }{2}$;π]

b) Xét trên đoạn [-$\frac{\pi }{2}$;π]

Tại điểm có hoành độ x=0 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là y=1 .

c) Khi x∈[-$\frac{\pi }{4}$;$\frac{\pi }{4}$] thì sinsin(x-$\frac{\pi }{4}$)<0.

Vận dụng 1:

Trong 3 giây đầu, ta có 0≤t≤3, nên 0≤πt≤3π. Đặt x=πt và từ đồ thị hàm số côsin, ta có đồ thị hàm s=2cos⁡x trên đoạn [0;3π] như sau:

Ta thấy s đạt giá trị lớn nhất khi x=0 hoặc x=2π. Khi dó t=0 hoặ t=2.

c) Hàm số y=tan x

HĐKP 6:

Kết luận

• TXĐ: D=R\{$\frac{\pi }{2}$+kπ|k∈Z}

• Tập giá trị: R.

• Hàm số tuần hoàn với chu kì .

• Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

• Đồng biến trên mỗi khoảng (-$\frac{\pi }{2}$+kπ;$\frac{\pi }{2}$+kπ),k∈Z 

d) Hàm số y=cotcotx

HĐKP 7

Kết luận

• TXĐ: D=R\{kπ|k∈Z}.

• Tập giá trị: R.

• Hàm số tuần hoàn với chu kì .

• Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

• Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ;π+kπ),k∈Z 

Ví dụ 4 (SGk -tr.32)

Thực hành 4

a) Ta có đồ thị hàm số y=cot x  với x∈(-$\frac{\pi }{2}$;2π) và x≠kπ(k∈Z) 

b) Trong hình dưới đây, ta thấy đồ thị hàm số y=cot cotx  cắt đường thẳng y=2 tại hai điểm phân biệt. Do đó, có hai giá trị x mà tại đó giá trị hàm số bằng 2.

Vận dụng 2

Điểm nằm cách xích đạo 20 cm có y=20 hoặc y=-20, nghĩa là tantan($\frac{\pi }{180}\varphi $) =1 hoặc tantan($\frac{\pi }{180}\varphi $) =-1.

Vì-90<φ<90 nên -2<$\frac{\pi }{180}\varphi $<2.

Đặt x=$\frac{\pi }{180}$ và xét đồ thị hàm số y=tan⁡x trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}$;$\frac{\pi }{2}$), ta có đồ thị như hình:

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

y=1 khi x=$\frac{\pi }{4}$, suy ra φ=45;  y=-1 khi x=-$\frac{\pi }{4}$, suy ra φ=-45.

Vậy trên bản đồ, các điểm nằm ở vĩ độ 45$^{\circ}$ Bắc và 45$^{\circ}$ Nam nằm cách xích đạo 20 cm.