BÀI 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ 

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

KP1 trang 25 sgk toán 11 tập 1 CTST

Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác. Sử dụng định nghĩa của các giá trị lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:

a) Giá trị sint và cost

b) Giá trị tant ( nếu t ≠+k, k ∈Zvà cott (nếu t≠kπ,k∈Z)

Giải nhanh:

a) Trên đường tròn lượng giác, điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo t, khi đó:

- Tung độ của điểm M là sint.

- Hoành độ của điểm M là cost.

Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất.

b) Với thì . Vì xác định duy nhất giá trị và sin nên cũng xác định duy nhất giá trị tan .

Với thì . Vì xác định duy nhất giá trị và sin nên cũng xác định duy nhất giá trị .

Như vậy và là các hàm số.

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

KP2 trang 26 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Xét hai hàm số , y = 2x và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp, nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và -1, 2 và -2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Giải nhanh:

a) và . 

Quan sát Hình , ta thấy đồ thị hàm số đối xứng qua trục . Điều này có được vì giá trị hàm số tại và là bằng nhau với mọi .

b) và . Quan sát Hình , ta thấy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ . Điều này có được vì giá trị hàm số tại và là đối nhau với mọi .

TH1 trang 27 sgk toán 11 tập 1 CTST

 Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ

Giải nhanh:

+) Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì và .

=> là hàm số lẻ

+) Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì , , cũng có nghĩa là . Hơn nữa, . 

=> là hàm số lẻ

KP3 trang 27 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi x∈R

Giải nhanh:

=  

TH2 trang 27 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx

Giải nhanh:

Hàm số là hàm số tuần hoàn vì với mọi ta có và

Hàm số là hàm số tuần hoàn vì với mọi ta có

và

3. ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

KP4 trang 28 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Giải nhanh:

KP5 trang 28 sgk toán 11 tập 1 CTST 

 Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Giải nhanh:

 TH3 trang 30 sgk toán 11 tập 1 CTST

Cho hàm số y = cos x với

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tại các điểm nào thì giá trị hàm số lớn nhất?

c) Tìm các giá trị của x thuộc sao cho

Giải nhanh:

a) 

b) Xét trên đoạn

Tại điểm có hoành độ thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là

c) Khi thì

VD1 trang 30 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Li độ s (cm) của một con lắc...Li độ s (cm) của một con lắc đồng hộ theo thời gian t (giây) được cho bởi hàm số $s = 2cos\pi t$. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 3 giây đầu thì con lắc có li độ lớn nhất

Giải nhanh:

Trong 3 giây đầu, ta có , nên . Đặt và từ đồ thị hàm số cos, ta có đồ thị hàm trên đoạn như sau:

Ta thấy đạt giá trị lớn nhất khi hoặc . 

Khi dó hoặ .

KP6 trang 30 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Giải nhanh:

KP7 trang 31 sgk toán 11 tập 1 CTST

Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Giải nhanh:

TH4 trang 33 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Cho hàm số với và

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Có bao nhiêu giá trị x mà tại đó giá trị hàm số đã cho bằng 2?

Giải nhanh:

a) 

b) Hai giá trị x mà tại đó giá trị hàm số bằng 2

VD2 trang 32 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 10. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến $0^{o}$ làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ (-90<<90) được cho bởi hàm số y = 20tan (cm). Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo 20cm trên bản đồ.

Giải nhanh:

Điểm nằm cách xích đạo có hoặc , nghĩa là hoặc

nên .

Đặt và xét đồ thị hàm số trên khoảng , ta có đồ thị như hình:

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

Vậy trên bản đồ, các điểm nằm ở vĩ độ Bắc và Nam nằm cách xích đạo

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 32 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?

a)

b)

Giải nhanh:

a) Hàm số chẵn vì có tập xác định là . 

Với mọi thì và  

b) Không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ

có tập xác định là . 

Với mọi thì và

c) Hàm số lẻ.

có tập xác định là . 

Với mọi thì và  

Bài tập 2 trang 32 sgk toán 11 tập 1 CTST

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y =

b) y = tan (x+)

c) y =

Giải nhanh:

a) Tập xác định .

b) Tập xác định .

c) .

Bài tập 3 trang 33 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cos + 1

Giải nhanh:

Bài tập 4 trang 33 toán 11 tập 1 CTST 

Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, xác định các giá trị x∈ thỏa mãn

Giải nhanh:

Ta có đồ thị hàm số trên đoạn

Trên đoạn , ta có => hoặc

Bài tập 5 trang 33 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α= (Ox, OM) theo hàm số vx=0,3sinα (m/s) (Hình 11).

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của vx

b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên (0≤α≤2α), góc α ở trong các khoảng nào thì vx tăng.

Giải nhanh:

a) Giá trị lớn nhất của là , giá trị nhỏ nhất của là .

b) Vì nên tăng khi và chỉ khi tăng. Do đó, dựa vào đồ thị của hàm trên đoạn trong hình dưới đây, vận tốc tăng khi và chỉ khi .

Bài tập 6 trang 33 sgk toán 11 tập 1 CTST

Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12)

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α=(OA,OG)

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Giải nhanh:

a)

b) Vận tốc góc của gàu là .

Góc quay của gàu là .

Trong 1 phút đầu, ta có (giây) suy ra .

Vì nên . 

Xét đồ thị hàm số trong đoạn như hình, ta thấy có bốn giá trị thỏa mãn là .

Do đó

Bài tập 7 trang 33 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác (Tx, TA) (0<α<π).

a) Biểu diễn tọa độ xH của điểm H trên trục Tx theo α

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với thì xH nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Giải nhanh:

a) .
b) Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy khi thì:

⇔

⇔